回答

回答

54の正の約数の総和は、
1+2=3と1+3+9+27=40の掛け算で、120です。

求める自然数は、2のa乗×pのb乗で表されるので正の約数の総和は
(1+2+2²+...+2のa乗)×(1+p+p²+...+pのb乗)
となります。
120は2³×3×5です。aは0ではないので前の項は絶対奇数となり、素因数に2はもたないため、3か5か15です。
1+2=3
1+2+2²=7
1+2+2²+2³=15
なので、5はありえないことがわかり、3となるa=1か15となるa=3だとわかります。54がa=1なので、求めるのはa=3のときです。

120=15×(1+p+p²+...+pのb乗)
つまり(1+p+p²+...+pのb乗)=8
です。
ここで、pは2より大きい素数なので、pはどれだけ小さくても3です。3の2乗が9であり8を超えることから、bが2よりも大きくなることはありえないので、b=1か2に絞られます。

b=2のとき
p²+p+1=8
p(p+1)=7
これを満たす3以上の素数pはありません。

b=1のとき
p+1=8
p=7は3以上の素数です。

よってa=3とb=1とp=7を代入して、2³×7=56です。
偶奇で絞り込み、大小関係で絞り込みという、どちらも整数問題の基本となる考え方が詰まっているので、良い経験となる問題だと思います。

ブドウくん

訂正
bが2より大きくなることはありえないので以下の部分は不要でした。 

b=2のとき
p²+p+1=8
p(p+1)=7
これを満たす3以上の素数pはありません。

この回答にコメントする
疑問は解決しましたか?