数学
高校生
解決済み

(3)でx=2520l+1までは理解したのですが、
その後の解説から、ユーグリット互除法のように少しずつ変形が行われていて結局どうして答えに行き着くのかが分かりません。
文字も多くて混乱しています。

ご回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️՞

数学Ⅰ・数学A 第3問~第5問は,いずれか2問を選択し, 解答しなさい。 第4問 (選択問題)(配点 20) 17 (1)34と85の最大公約数は アイである。 次に,Nを3桁の自然数とする。 Nと85の最大公約数がアイ であるようなNのうち、最も小さい数は である。 N=ウエオ 102 17 60 数学Ⅰ・数学A (3)4,5,6 の最小公倍数は サシであり,2,3,4,5,6,7,8,9の最小公 2520 倍数はスセンタである。 次に,(2)の方程式 ①の整数解 (x, y) において, xが正で,2,3,4,5,6,7, 8,9のどれで割っても1余るものを考える。 xは 2520 x=スセソタ 1+1 (Zは0以上の整数) (2) 不定方程式 17 7x- アイy=1 について考える。 方程式 ① を満たす1桁の自然数x,yは 5 2 x= カ y= キ であり, 方程式 ①のすべての整数解は, 整数を用いて と表され 17 5 2520 クケk+ カ =スセソタ1+1 が成り立つから ・① 17 4 630 クケ k= チ シテト 1-1) と変形できる。 ここで 630 17 37 ツテト クケ × ナニ +1 (x, y) クケk+ コ [k+ キ と表される。 17 5 2 7 (数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。) である。 よって、考えているxが2番目に小さくなるのは 18 l= ヌネ のときである。
(3) 4, 6 をそれぞれ素因数分解すると 4=22 6=2.3 よって, 4, 5, 6の最小公倍数は 22.3.5 = 60 次に, 8, 9 をそれぞれ素因数分解すると 8=23 9=32 よって, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9の最小公倍数は 23.3.5.7 2520 したがって、 正の整数xについて xが2,3,4,5,6,7,8,9のどれで割っても1余る x-1が2,3,4,5,6,7,8,9の公倍数 x-1が2520の倍数 xが2520で割って1余る 0以上の整数を用いて, x=25201+1 と表される ゆえに、⑤xが正の整数で,2,3,4,5,6,7,8,9のどれで割っても 1余るとき 17k+5= 2520Z+1 (Zは0以上の整数) が成り立つ。 ⑥を変形すると 17k=2520Z-4 17k=4(630Z-1) 17 と4は互いに素であるから, pを整数として k=4p, 630l-1 = 17p と表され、このとき ・⑥
630l-17p=1 ここで,630 = 17×37+1 であるから 630・1-17・37 =1 ⑧ より 630(-1)-17(p-37)=0 630(-1) = 17(p-37) 630 と 17 は互いに素であるから,g を整数として l-1=17g, p-37=630g と表され,このとき l = 17g+1 x = 2520l+1 = = 2520(17g+1)+1 = 2520・17g+2521 (8) xが正の整数になるのは,g が0以上の整数のときであり,このうち,xが2 番目に小さくなるのは, q = 1 のとき,すなわち l = 17•1+1 = 18 のときである。 ⑦の整数解の1つを求めるには, ユークリッドの互除法を用いて 630 と17の最大公約数を求める計算を 行い,その計算を逆にたどることで 163017 で表せばよい。
₱å₥

回答

✨ ベストアンサー ✨

書いてある通りなのですが、
質問はもう少し具体的になりますか?

解説が何を言っているのかは分かったのですか、
この問題を解くコツを教えて欲しいです。

すみませんが、この問題において「解くコツ」とだけ言われても、
あなたがどういう答えを期待しているかがどうもわかりません

解説が何を言っているかがわかって、
それ以上に望むことが何なのか、
具体性がなくて焦点がぼやけていて、
現状、聞いている限りだと、
何をお答えしていいかが本当にわかりません

具体的にピンポイントにもう一度尋ねてくださるか、
そうでなければ他の方に期待して、
今一度質問を新しく投げてくださるか、
どちらかお願いします

すみません。
分かったかもと思ったり、
やっぱり理解できないを行き来していて、
答えられない質問をしてしまいました🙇🏻‍♀️՞

もう一度、質問させてください( . .)"
x=2520l+1のlに0以上の整数を代入していくのではないのは何故でしょうか。
l=0では2~9のどの数字で割っても1余る条件を満たしていない。
l=1ではx=2521 条件を満たす
l=2ではx=5041 条件を満たす

と考えてl=2だと思いました。

難しいですよね
少しずつ解像度が高まっていっていますよ、きっと

計算ミスがあるようです
L=0のときx=1 ダメ
L=1のときx=2521で、2521 = 17×148 + 5だからOK
L=2のときx=5041 ダメ
……

ここで聞かれているのは、2番目に小さいものです
一番小さいのは確かにL=1のときのx=2521ですが…

2番目に小さいものを見つけるために、このあとも
L=3、L=4、……と続けていけば、次のやつが答えです
しかし、なかなか見つかりません
現実的に無理な答えかもしれません
穴を見ると2桁なので、L=10〜99まで可能性があります
最悪99あたりでやっと見つかるかもしれません

ということで、計算に頼るという趣旨です
数学のよさを実感する問題かもしれませんね

xは17k+5(k=0,±1,±2,±3,……)の形であり
2520L+1(L=0,1,2,3,……)の形でもあるから
 17k+5 = 2520L+1
この不定方程式を解く、ということになります

返信遅れてしまい申し訳ありません 🙇🏻‍♀️

17k+5 = 2520l+1からの計算方法についてですが、
この式のままでは数字が大きすぎるから
17k=4(630l-1)と変形し、
630l-1=17p(p:整数)となり数字が小さくなってから
l-1=17q
l=17q+1 を導き出して
x=2520l+1のlに代入する

という流れで合ってますか?
(数字を小さくしてから計算することがポイントですか?という質問です)

また、この計算過程は
10~99まで可能性のあるLを
17q+1であると絞り出すためのものですか?

概ね、そうです

AP=BQでPとQは互いに素だからA=kQ, B=kP(kは整数)
とかユークリッドの互除法とか、
そういう2元1次不定方程式を解く手法をいろいろ使うことで、
最終的にLは17(整数)+1の形であることを明らかにしています

ただ、このLはx = 2520L+1に代入する必要はありません
前回のコメントで述べたように、
L=1の次のLを見つけるのが目的なので、
L = 17(整数)+1とわかれば、L=1の次はL=18です

>また、この計算過程は10~99まで可能性のあるLを
17q+1であると絞り出すためのものですか?

そうです
ヌネを埋めるための工夫をずっとやっています

理解出来ました(*.ˬ.)"

お時間を割いていただき有難うございました!

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回答

ユークリッド互除法のように変形しているわけではなくlに17q+1を代入しているだけです。

x=2520l+1が正にならないといけないのでl=1,18,35…のようになります

すみません> <
理解出来なくて…

x=2520l+1のlに0以上の整数を代入していくのではないのは何故でしょうか。
l=0では2~9のどの数字で割っても1余る条件を満たしていない。
l=1ではx=2521 条件を満たす
l=2ではx=5041 条件を満たす

と考えてl=2だと思いました。

解決しました!!
ご回答有難うございました🙇🏻‍♀️՞

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