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絶対値を外す時は絶対値の中身が正だったらそのまま、負だったらマイナスをつけてだすというルールでしたよね、
要するに中身がk+1で、kの値が正か負のどちらを撮るかわからないですよね、なので、正の場合と負のときで場合わけします
(i)k+1が正すなわちk≧-1のとき
そのまま外して
k+1=3
k=2
これはk≧-1を満たす。
(ii)k+1が負すなわちk<-1の時
マイナスつけて外すので
−(k+1)=3
k+1=−3
k=−4
これはk<-1をみたす。
よってk=2、−4

次二次関数ですが、x^2の係数が正の時は下に凸のグラフ、x^2の係数が負の時は上に凸のグラフと把握してれば問題ないはずです。

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