解答
(1)条件を満たすように書き並べると、
x2x2x2
4 5
①,2,4,6,9, 12, 16, 20, 25, 30,
+2 +2 +3 +3 +4 +4 +5 +5
a=1, a2=2
より左の
Ja2k-1=bk (k=1, 2, ……)
が特定できる。
とおくと,
これより,
lazk=ck
(k=1,2,………‥)
{bk}:1,4,9,16,25,
階差数列が初
差2の等差数
より、
{ch}:2,6,12,20,30,
[bk=k²
Ch=k (k+1)
･････(*)と予想される。
(*)を数学的帰納法により示す.
(I) k=1 のとき,
|b1=a=1=12
lc=a=2=1・2
より, (*)は成り立つ.
1.2, 2-3, 3-
b1=a21-1=0
C1=a2.1=02
(II) k=l のとき,
fbe=aze_1=l2
lce=aze=l(l+1)
仮定すると、条件より, azé=aze-1a2+1 だから,
l2(l+1)²=l'aze+1 より,
が成り立つと
Azeare
aze+1=(l+1)2
えると2
より,
よって,
aze+2=2(l+1)-l(e+1)
=(l+1)(2l+2-l)
= (l+1) (l+2)
Jbe+1=aze+1=(l+1)^
lce+1=aze+2=(l+1) (l+2)
k=l+1 のときも (*) は成り立つ.
また,条件より,2aze+1=aze+aze+2 だから,
2(l+1)=l(l+ 1) + aze +2
より、こ
数列
⇒ azi=
aa21-
えると,
この3項
だから,
⇒2a2e-
太郎
(I),(II)より,すべての自然数んに対して(*)は成り
立つ.
180.
したがって、
Ja2k-1=bk=k²
a2k=Ch=k(k+1)
よって,
n=2k-1 のとき,
an=k=
(n+1)
2
n+1
2
(別解)条件より
a2k=a2k-1a2k+1
n=2k のとき,
ɑn=k(k+1)=”2 (2+1)= n(n+2)
12a2k+1=a2k+a2+2
天
k=
4
22
n
(
①
2
an>0 だから,①より,
これより
a2k=a2k-1a2k+1
数列{a} は
a2k+2=a2k+1A2k+3
1+
1, 2, 4, 6, 9, 12,
より, a>0は明ら
②に代入すると,
2a2k+1=√a2k-1a2k+1 +va2k+1a2k+3
両辺をak+1 A+
2a2k+1=a2k
これより、数列{√a2k-1} は,初項 √a = 1,
公差√as√a=2-1=1 の等差数列であるから,
a2k-1=1+(k-1)・1=kより,
a2k-1=k²
これより
..③
an, an+1, a +2 が等差
⇔ 2a,+1=an+a
A2k+1=A2(k+1)−1=(k+1)²......④S=N
az²=k²(k+1)²
③ ④ を ① に代入して,
(
azk>0,
したがって,
と仮
①よって,
3(0
2n
n
a2k=k(k+1)
Ja2k-1=k²
lazk=k(k+1)
n=2k-1 のとき,
n=2k のとき,
n+1\2
an=
an=2(2+1)=(n+2)=-8x (
n
(2) Σak=Σ(a2k-1+ a2k) =Σ (br+Ck)
k=1
k=1
n
(20% (1-0)=Σ{k²+k(k+1)}
k=1
k=1
=2.1m(n+1)(2n+1)+12m(n+1)
**A (=2.
16
5) Sn(n+1)(4n+5)
仮定
(1)より,
Ta2k-1=bk=k²
Dans
a2k=C=k(k+1
k+k(k+1)=2
Σk=1\n\n+1
k=1
k=
(より
6
k=1
e
aｎを使って間違えてしまって、なんでダメか教えて欲しいです🙇