Question

rr

黄色いところは何をやっているのか分かりません。。(;;)教えて欲しいです！

重要 例題 160 媒介変数表示の曲線と面積(2)
媒介変数によって, x=2cost-cos2t,
y=2sint-sin2t (0≦t≦) と表される右図の曲線と,
x軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。
YA
x
基本156
CHART & SOLUTION
基本例題156では,tの変化に伴ってxは常に増加したが,
この問題ではの変化が単調でないところがある。
y
Y2
右の図のように, t=0 のときの点を A, x座標が最大とな
る点を B(t=to で x 座標が最大になるとする), t=πのと
きの点をCとする。
S
B
A
-3
O 1₁
x
Xo
この問題では点Bを境目としてxが増加から減少に変わり,
軸方向について見たときに曲線が往復する区間がある。
したがって, 曲線AB を y, 曲線 BC を y2 とすると,求め
る面積Sは
t=π
t=0
●t=to
曲線が往復
している区間
s=Sydx-Sy yidx
と表される。
よって、xの値の増減を調べ, x座標が最大となるときのtの値を求めてSの式を立てる。
また,定積分の計算は、置換積分法によりxの積分からtの積分に直して計算するとよい。
解答
図から, 0≦t≦↑ では常に
y≥0
また
y=2sint-sin2t=2sint-2sintcost
=2sint(1-costするど
よって, y=0 とすると
sint=0
または cost=1
24
0≤t≤ x 5
t=0,0-(D)\\
次に, x=2cost-cos 2t から
7
dx
=-2sint+2sin2t
dt
xh (bala-nia)
Daia
inf. 0≤ts D
sint≧0, cost ≦1 から
y=2sint(1-cost)≧0
としても,y≧0 がわかる。
455-25
=-2sint+2(2sintcost)_(n)\
=2sint(2cost-1)
0<t<πにおいて
dx
dt
-= 0 とすると, sint>0 で
あるから
π
t
0
π
|3|
cost=
201
ゆえに
dx
t=
J3
dt
+
よって、xの値の増減は右の表のようになる。
x
1
→>>>
032
↑
P
-3

DOO
ゆえに、
における
yを とすると,求める面積Sは
S=Sdx-Syds
osts 7において,
≦tsにおける面
rar
y₂
y4
0
ここで,osts
基本 156
x=1のとき t=0.
x=
2
のとき t=
3dx
であるから
また、strにおいて,
公
B
x=2
色のとき=33
T
x=-3 のとき t=π
xo'
•t=to
であるから
Srdx=
dx
-dt
dt
るい
3
t="
S =
S
t=0
13x
0
ya
33
3.99
2
[注意 yī と y2 は,xの式と
しては異なるから、
25
Styrdx-Spdx-Sydx
MOTOとしてはいけない。
(0-x)(D)=(1
dx
S=S* dx-Sydx=Sydx dt-Syd
dt
+ Sxy dx dt = Sp³
dx dt+
dt
3
dt
dx
0
-dt
n dt
dt
一方,tの式としては同じ
y=2sint-sin2t) で表さ
れる。
09 RU
Sf(x)dx=-f(x) dx
=(2sint-sin2t)(-2sint+2sin2t)(x)dx+f1(x)dx
=(-2sin22t+6 sin2tsint-4sint)dt (%
=2f (sin22t-3sin2tsint+2sint)dt
=Sf(x)dx
ados f(x) dx = -Sƒ(x)dx
ここで
ら
Sisin'tdt=S.1
(T1-cos 4t
2
かる。
・dt
=
π
sin 4t
sin'=
2=
1-cos 20
2
3sin2tsintdt=3f2sintcost sintdt 積和の公式から
3sin2tsintdt
=6fsin*tcostdt=6S sin't(sintydt=6|13 sin'] = 0
6 | | = sin³t] == 25% (cost-cost) dt
20
S2sin'tdt=251-cos21at=t-1/2 sin 240
=π
sint]**
2/11
-sin 3t-sint
したがってS=2 (
=0
π
-0+л=3π
+ 1) ===
(0.1).O
としても
この例題の曲線はカージオイドの一部分である(p.153まとめ参照)。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Skeddie Mercury

どうでしょうか？
まずいつものように面積を積分で表してそれをtの関数で置換したから積分区間及びd xを tで表してやるだけです！！

rr

できました！！！ありがとうございます🙇🏻‍♀️！