Question

rr

(ii)の1項目の微分がどうして解答のように変わるのか分かりません。教えて欲しいです🙇‍♀️

12 2017年度 数学
Ⅲ. 関数
2e2x
ex
f(x) =
-
1+x 1+ex
立教大理
について,次の問 (i) ~ (v) に答えよ. ただし, (i)~ (iii) において t = e + ex とお
く. 解答欄には,答えだけでなく途中経過も書くこと.
((i))
x が実数全体を動くとき,tの最小値を求めよ.
(ii) 導関数 f(x) を t を用いて表せ.
(Ⅲ) f(x) がx > 0 において最大値をとるとき,t の値を求めよ.
(iv) a を正の実数とする.S(a)=f(x)dx を a を用いて表せ
(v) lim
S(a)
a81 a
を求めよ.

60 2017年度 数学 <解答>
立教大理
>>0より,相加平均と相乗平均の関係か
Ⅲ 解答
ら
Hete≥2√e*e* tsb t≥2
等号が成り立つのはe = e - 1,すなわち x=0のときである。
(答)(0)
よって、求める tの最小値は2
(ii) f'(x) = 2e* (e* + e¯*) -2e* (e* - e¯*) _ e* (1+ e*) − e* ·e*
(e+e)2-1+ ((t) (1+e+) 2
4
ex
2r
401
(e*te-x) 2 1 + 2e*+es (extet) extext2
+
=
1
tt+2
(
dt
(111) =e*-*より,t の増減表は右のようにな
x
0
dx
dt
of dx
0
る。
増減表より,x≧0においてxtは1対1に対応し,
xが増加するとも増加する。 したがって, xに代
てを変数として考えればよい。
極小
t
2
f(x) を tの関数として表したものをg (t) とすると
d
g'(t) =
dx
=-—-—19 (1) dx = 156
d
1
dt
-f (x)·
dx
(0)
dt
dx
=f'(x)・
ex-e-*
であり,x>0のときee">0より
K
-
078
e-e=√(e*+e¯) 2-4 = √t²-4
真
よって, (ii)の結果より
立
g'(t) =
ピ+4t+8
f (t+2) √f-4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

最初にf(x)の1つ目の分数をeˣで割って
2eˣ / (eˣ+e⁻ˣ)としてから微分しています
tと置き換えることを踏まえてそうしています

そのあとは商の微分の公式そのままです
加えて、いつもの合成関数の微分も使っています

公式を適用した式を書くことはできるはずですから、
まずは書いてみてください

rr

そうなっていたんですね(;;)やってみます！！
ありがとうございます🙇🏻‍♀️

Answer 2

GDO

質問の回答ではありませんが、
以下の様にしておくと微分は楽かもしれませんよ
・2e²ˣ／(1+e²ˣ)=2 - 2／(1+e²ˣ)
・eˣ／(1+eˣ)=1-1／(1+eˣ)

df/dx= 4e²ˣ／(1+e²ˣ)² - eˣ／(1+eˣ)²
　= 4e²ˣ／(e⁴ˣ+2e²ˣ+1) - eˣ／(e²ˣ+2eˣ+1)
　= 4／(e²ˣˣ+2+e⁻²ˣ) - 1／(eˣ+2+e⁻ˣ)
　= 4／(eˣ+e⁻ˣ)² - 1／(eˣ+e⁻ˣ+2)
　= 4／t² - 1／(t+2)

rr

積の微分よくぐちゃぐちゃになってしまうのでやってみます。😮