Question

moon

この問題の（１）なんですが、なみ線を引いた
「重解は、x=-a/2より、」をどうやって導き出すかが分かりません！解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

118 第2章 高次方程式
Think
例題 62
3次方程式と実数解
****
αを実数の定数とする. 3次方程式 x+(a-1)x2+(a-3)x-2a+3=0
について、 次の問いに答えよ.
(1) 重解をもつように, 定数αの値を定め、そのときの重解を求めよ、
(2)異なる3つの実数解をもつように、定数a の値の範囲を定めよ
考え方
まずは、次数の最も低いαについて整理し
解答
(xの1次式)×(xの2次式)
の形に因数分解する.
(1)「2次方程式の解が、1次方程式の解を含む」場合と,「2次方程式が重解をもっ
場合の2通りが考えられる.
(2)2次方程式が異なる2つの実数解をもち、かつ2次方程式の解が1次方程式の帰
を含まない場合である.
(1) f(x)=x3+(a-1)x2+(a-3)x -2a+3 と
する.
a について整理すると,
次数の低い文字 a
整理
f(x)=x+(a-1)x2+(a-3)x-2a+3
=(x2+x-2)a+x-x-3x+3
数分解する.
f(1)=1°+(a-1)12
=(x+2)(x-1)a+x2(x-1)
+(a-3)・1−2a+3= 0
-3(x-1)
=(x-1){(x+2)a + x2-3}
より, f(x) は x-1 を因数に
もつ.
=(x-1)(x2+ax+2a-3)
f(x) =0 とすると,
x-1=0 または x2+ax+2a-3=0
したがって,f(x)=0が重解をもつのは,
次の2通りの場合である.
(i) x2+ax+2a-3=0 がx=1 を解
にもつ
(ii) x2+ax+2a-30 が 重解をもつ
(i) のとき, x=1 が解であるから,
これを利用して因数分解しても
よい。
組立除法
11 a-1
a-3-2a+3
1
a
2a-3
10
1 a 2a-3
(i)のとき, x+ax+2a-3=0 の判別式を
2
12+α・1+2a-3=0 より
a=-
x=1 が重解
3
残りの解は,
5
x2
(x-1)x+
=0
-= 0 を解いて
Dとすると,重解をもつのでD=0である。 +123x-/3/3
CMD=a²-4(2a-3)
=a²-8a +12
=(a-2)(a-6)
より,
したがって (a-2)(a-6)=0
a=2.6
53
重解は,x= より
a
2
をもつとき,x=-
a=2のとき,
x=-1
a=6 のとき,
x=-3
の重解を求める.
より,x=-
ax2+bx+c=0 (α0) が重
b
2a
a=2, a=6 のそれぞれの場
残りの解は,どちらもx=1

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

exod

波線の右横に公式ありますね。

なぜかというと、解の公式をつかって

ｘ＝－ｂ±√（ｂ＾２－４ａｃ）／２ａ

重解のとき、

±√（ｂ＾２－４ａｃ）=0

x=-b/2a

です。

moon

ありがとうございます！
質問なんですが、なぜaが分子にくるんですか？

exod

x=-b/2aのaは
ax^2+bx+c=0のときの重解の公式なので、
問題文の式のaとは違うので、ややこしくなってますね。

Ax^2+bx+c=0と置きかえ、

x=-b/2A

係数の対応関係をみると、
A=1
b=a
となります。

解の公式がわからないということでしたら、

Ax^2+bx+c=0を
平方完成することで公式を証明できます。

moon

ありがとうございます！理解出来ました！