Question

とりっぴー

2枚目の線引いたとこなんですけど、なんでA.Bの少なくとも一方は２の３乗なんですか？
回答よろしくお願いしますm(_ _)m

[組あり,
(イ) 和が546で最小公倍数が1512である2つの正の整数を求めよ.
(麻布大生命環

(イ) 2つの正の整数をA,Bとする.
AとBの最小公倍数は 1512
23.33.7...
A+B=546=2・3・7・13
②
①より, A, B の少なくとも一方は23の倍数である。
これと②を合わせると, A,Bの2の指数は一方が3,他
方が1である (A,Bの2の指数を 3 とするとき, r≧2
ならA+Bが22で割り切れ, r = 0 なら A+Bは2で
割り切れない).
同様に,A,Bの3の指数は一方が3,他方が1である.
また,7の指数はともに1であり、 ① より 2, 3, 7以外の
素因数はもたない。
指数の条件から,A,Bの組合せは [23で割り切れる
方の3の指数は1か3なので]
(23.3.7, 2.33.7), (23.33.7, 2.3.7)
となるが,②を満たすのは前者である。答えは,
168,378
MTS &

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

AとBの最小公倍数が2³×(整数)ということは
A,Bの少なくとも一方は2³の倍数です

AやBのもつ約数2の個数が0〜2個だったら、
最小公倍数のもつ約数2の個数が3個にはなりません
たとえばA=2²×3, B=2×5とかだったら、
最小公倍数は2²×3×5です
2³は出てきません

結局、A,Bのもつ2の個数を比べて、
多い方に合わせたものが最小公倍数なので、
少なくとも一方は2をちょうど3個もちます

とりっぴー

分かりました、ありがとうございます！！