Question

よあこひ

2枚目のように考えることはできますか？
解答に載ってたやり方と違って、これでも良いのか気になりました。
教えてください🙇‍♀️

Step up 37
f(t)=1/12tsin't とする。f(t)=0となるtの値が0<t<でただ
1つだけ存在することを示せ。
Dantiest

2
12/21shit+12/22antast
・smtient
12/21shet+tsihtcost
sint (Isint+tant) ↑ok
sht(ist+tat):0
O<t<π 7" sint 17 siht=01=78378.
12/21st+tast=0
+
・smt70となるので、
sint+2tcost=0
h(t)=1/22sint+tcostをすると、
h'(t)=1/2ast+(at-tant,
22cat-tsint
あ、調増加作戦ダメだ。
良いのかど
分から
sint+tcost=0 のf()=0となる。
・・・g(t)をおく。
sin(t+α)
g(t) = √² +(2) sin (++x)
ただし、cosx=
aina=
g(t)=0のとき、
+1/2なので、
sin(ttx)=0
an(ttα)=0のとき、
O<t<Tu Fil.
t
図より、(もな)=0の値をとるのは、
1点なので、
題意は示された。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sin theta

g(t)で合成をするときに元の変数tを含んでしまっているので，sinの係数もtに依存してしまい正しく値域を把握できませんね。

よあこひ

すみません
どの行か分からないです
また、もっと詳しく教えてほしいです
理解力が足らずに申し訳ありません

sin theta

この部分です。g(t)をsin(t+α)の形に書いたとしても，角度のαがtの値によって変化してしまうので，この形で値域を調べるのはいい策ではないと思います。

よあこひ

置換して、一つだけ解を持つことを証明するイメージだったので、tに依存しても良いのではないですか？

sin theta

仮にそうだとしてもα<t+α<π+αから解が一つとするのはまずいかと。結局π+αもtの関数(α=√t^2+1/4なので)なので，t+α全体をtの関数として0<t<πにおいてt+αも高々幅πしか値を取り得ないとすべきでしょう。

よあこひ

なるほど
確かに、高々幅πしか値を取り得ないとすると正しそうですね

ただ、どうしてα<t+α<π+αから解が一つとするのはまずいのでしょうか？

よあこひ

あ、aがtによって依存するからですかね？
では、どうして、aがtによって依存すると、α<t+α<π+αから解が一つとするのはまずいのでしょうか？

sin theta

そうです，αがtに依存することが問題です。不等式の最右辺と最左辺がtによる関数なので，定数で抑える必要があります。つまり不等式の左辺の最小値と右辺の最大値の幅がπより大きくなってしまう場合があるということです。

よあこひ

なるほど！
もしかしたら、左辺のαは、−πで、右辺のαがπとかになる可能性があって、そうなると、幅がπだといえないということですね。
理解できるまで質問に付き合ってくれてありがとうございました。