Question

ど

高二進研模試過去問b3（3）の問題でわからないところがあります。この問題を解くとき私は判別式Dで解こうとしたのですが答えは出ませんでした。判別式では解けない理由が知りたいです。

B3 p, gは実数の定数とする。 3次方程式 x+px2+gx-4=0 は異なる3つの実数解 1,
a,
βをもつ。
(1) g を用いて表せ。
(2)のとり得る値の範囲を求めよ。
(3)は定数とする。 α2+β2 = k を満たすの値がただ1つ存在するとき, kの値を求めよ。
また,そのときの値を求めよ。
(配点 20)

88
ここで, 2次方程式①の判別式をDとすると
D=(p+1)-4・1・4
= (p+5)(p-3)
D0 より
(p+5)(p-3)>0
p<-5, 3 <p
さらに, 2次方程式①は, x=1 を解にもたないから
1+(p+1)+4 ≠ 0
すなわち キー6
② ③よりのとり得る値の範囲は
③
【2次方程式 ax2+bx+c=0 ... (*)
の判別式をDとすると
2次方程式 (*) が異なる2つの実
数解をもつ⇔D> 0
(ただし, D=b2-4ac である)
x=1は2次方程式 ① の解でない
ことを見落とさないようにする。
p<-6, -6 <p <-5, 3 <p
答 p<-6-6 <p<-5,3 <p
完答への
道のり
P(x) が x-1 を因数にもつことに気づくことができた。
B P(x) を因数分解することができた。
CP(x) = 0 の解の条件を, 2次方程式 ① の解の条件に置き換えることができた。
① 2次方程式 ① の解の条件から,かについての不等式を立てることができた。
E 2次方程式 ①がx=1 を解にもたないための条件を求めることができた。
Fpのとり得る値の範囲を求めることができた。
(3)
(2)より, α,βは2次方程式 ① の2つの解であるから,解と係数の関係に
より
α+β=-(p+1), αβ =4
このとき,2+β2 = k より
(a+β)2-2aβ=k
(+1)-8=k
f(b)=(n+1)2-8 とおくと, pについての方程式 ⑤の解は, 2次関数
y=f(p)(p<-6, -6 <p<-53 <p) ....... ⑥ のグラフと直線
y=k...... ⑦の共有点の座標に一致する。
解と係数の関係
2次方程式 ax2+bx+c=0 の2
つの解をα, β とすると
a+β=-
b
a'
α2+B2 はかについての2次式で
あり, の値により変化する。
ly=f(p),y=kの2つのグラフ
の共有点の個数に着目する。
ここで, ⑥において, =-6 とすると
y
y=(-6+1)-8=17
17.
⑥ ⑦のグラフがただ1つの共有点をもて
ばよいから
k=17
(7)
-8
また、このとき ⑤より
(p+1)2-8=17
p'+2p-240
0
34
(p-4) (p+6)= 0
④より
p=4
答 k=17, p=4
f(p)=(p+1)-8 より
f(-5)=(-5+1)^-8 = 8
_f(3) =(3+1)-8=8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

[1]どの式に対して判別式を使おうとしたのか、
どんな結果になったために答が出なかったのか
を書いてもらわないと答えにくいのですが…
答えたとしても漠然とした返答になりがちです
どんな質問でもご自身のことをしっかりお願いします

⑤:p²+2p-7-k=0の判別式=0を考えたのだとしたら、
それでは条件が足りないということです

(2)でpの制限された範囲がわかります
この範囲で、α²+β²=kとなるpがただ1つ、
という条件を求めなくてはなりません

⑤の判別式=0では、すべてのpに対し、
α²+β²=kとなるpがただ1つ、
という条件になってしまいます

この話に関しては、
数ⅠやⅡの「解の存在範囲（解の配置）」
と呼ばれる問題で、
「なぜ判別式だけではダメなのか」
という話題を扱っています

[2]同じ質問が2つ投稿されているようです
片方消してくださると助かります
投稿時ご確認を…

ど

回答ありがとうございます！⑤:p²+2p-7-k=0の判別式=0と考えました。
判別式で解けないのは全てのpで条件が合わない。だからグラフで解く。
で合っていますか？

すみません！通信が悪くて２つ投稿されてしまったようです🙇

和

「全てのpで条件が合わない」
という文の意味がわかりませんが、
たぶん理解されていないような気がします

要するに、問題は
「pが(2)の範囲を動くとき 、p²+2p-7-k=0が
ただ1つの解をもつkの条件は？」
なのですが、あなたは
「pが全実数を動くとき、p²+2p-7-k=0が
ただ1つの解をもつkの条件は？」
と捉えて解いてしまっています

で、「解の存在範囲」の問題を解いたことがあれば、
今回の模範解答はすんなり理解できるはずです、
と言っています
逆に、「解の存在範囲」な問題を解いたことがないと、
模範解答がなぜこう解いているか
いまいちわからないかもしれません