Question

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なぜan+1やbn+1が有理数だとわかるのですか？

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117. 正の整数nに対して, 次の問に答えよ。
(1)(2√3) a+bmv/3 (am, bn は正の整数) と表すとき, (2-√3)
が α-b√3 と表されることを示せ.
(2) またこのとき, an-1 が3の倍数であることを示せ.
(3)(2+√3)は,ある正の整数 A に対して √A +√A +1 の形をして
いることを示せ.
(三重大)

解法
(1) +1, 6 +1 を a, b で表す.
2 (2+√3)(23)=1に注目する.
【解答】
(1)
において,
であるから,
(2+√3)+1=(2+√3)(2+√3)"
(2+√3)=a+b√3,
(2+√3)"+1=an+1+bn+1√3
an+1+bn+1v3= (2+√3) (a,+bmv3)
= (2a+3b)+(a+26)√3.
a, b, an+1, bn+1 は有理数, v3 は無理数であるから,
したがって,
Jan+1=2an+30, (2-Blan+ (2-5). (-1,5)
bn+1=an+2b.
an+1-bn+1v3= (2a+3b) (am+26m)√3
=(2-3) (an-bv3)
(2-√√3)(an-b√3)