Question

jpgamw

この問題は答えが6になるのですが、手書きで書いたところからの続きが分かりません。よろしくお願いします🙇

問52a>0とするとき, 曲線の長さを求めよ。
x=acos't, y=asin't
dx=3asintdt
(0≦2)
dy=3acostdt
の長さLを求めよ。
di
Bacos cdl
-3a sinzt
dy
dt
= 3 a cos²t
dt
これはアステロイドという
y
a
・a
ax
L=Son 90'sint+ 90 costt dt
0

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

てと

最初の、tで微分していくところから違います…！
dx/dtやdy/dtをもう一度計算してみてください！

jpgamw

回答ありがとうございます🙇
ほんとですね！しかし、3/2aになってしまいます、、
またすみません。確認して欲しいです。よろしくお願いします。

てと

近づきましたね！
さて、今回の問題のポイントは「対称性」にあります！
さらに言えば、積分区間の工夫をしないといけないんですね。

対称性に着目すると求める長さLは
第1象限の部分つまり積分区間[0,π/2]のみを考え、これを4倍したものにあたります！

しかし、これをせずに写真のように積分区間を[0,2π]にしたままだと、実は0になってしまうんです…(なので2枚目の写真も最後計算ミスあり…！)

それはなぜかというと、
sin2tを0から2πまで積分することは、グラフから考えると分かりやすいと思うのですが、x軸より上の部分と下の部分で打ち消されますよね？これが厄介なわけです。
だから正確に面積を求めるには上の部分と下の部分を区別してあげないといけません。
どうしても、[0,2π]でするなら
sin2tを0からπ/2まで積分したもの、-sin2tをπ/2からπまで積分したもの、sin2tをπから3π/2まで積分したもの-sin2tを3π/2から2πまで積分したものと四つに分ける必要があるんです！！

てと

長くなりましたが、分かりにくいところあれば質問ください！手書きの回答がよければ手書きでも対応できます！！

jpgamw

返信ありがとうございます。🙇
範囲の考え方が違っていたから6にならなかったのですね！
考え方とっても分かりやすかったです！
何回も復習して完璧に解けるようにします。
何回も答えていただきありがとうございました☀️助かりました！