CER FACITY
134 漸化式の応用
平面上にn本の直線があって,どの2本も平行でなく,どの3
本も1点で変わらないとき、これらの直線によって平面がan個
の部分に分けられるとする.
(1) α1, a2, as を求めよ.
(2) n本の直線が引いてあり, あらたに (n+1) 本目の直線を引
いたとき、もとのn本の直線と何か所で交わるか.
(3) (2)を利用して, an+1 を an で表せ
(4) an を求めよ.
精講
まず設問の意味を正しくとらえないといけません. nが含まれて
いるとわかりにくいので,nに具体的な数字を代入してイメージを
つかむことが大切で,これが(1)です.
(3)が最大のテーマです。 「an+をαで表せ」という要求のときに, 41, a2
α などから様子を探るのも1つの手ですが,それは137以降 (数学的帰納法)に
まかせることにします。ここでは,一般に考えるときにはどのように考えるか
を学習します。
nant の違いは直線の本数が1本増えることです.
線と
サト
大点によって,(n+1)本目の直線は,2つ
ある直
の半直線と (n-1) 個の線分に分割されている (下図)..
②
③
①
1本目
(n+1)
(n+1)本目の直線
A
2本目3本目
この(n+1) 個の半直線と線分の1つによって、いままで1つであ
った平面が2つに分割される.
よって, (n+1) 本目の直線によって, 平面の部分は (n+1) 個増える
ことになる.
本目
(4)n≧2のとき,
an+1=an+n+1 (n≧1)
f(n)の形やで
階差数列 (123
n-1
an=a1+(k+1)=2+2+3+..+n)
k=1
=(1+2+…+n)+1-1/2n(n+1)+1/12 (2)
これは, n=1のときも含む.
吟味を忘れずに
ポイント
直線の数が増えれば分割される平面が増えることは想像がつきますが,問題
はいくつ増えるかで,これを考えるために(2)があります.
漸化式を作るとき, n番目の状態を既知として, (n+1)
番目の状態を考え、その変化を追う
解答
(1)
(a₁)
(a2)
(a3)
第7章
②
④
27
⑤
③
演習問題 134
④
右図のように円 01,02,
直線
・は互いに接し、かつ点Cで交わる半
に内接している。このとき、次の問いに答えよ.
12
図より, a1=2
図より, a2=4
図より α3=7
(2) すべての直線は,どの2本も平行でなく,どの3本も1点で交わら
ないので, (n+1) 本目の直線は,それ以前に引いてあるn本の直線の
すべてと1回ずつ交わっている。 よって、nが所で交わる
(1)円の半径が5CA の長さが12で
あるとき,円の半径 12 を求めよ.
(2)番目の円の半径を1とすると
(2)
きっと+1の関係式を求めよ.
02
-11
A2
Al
