Question

りり

(2)の解説(画像の2枚目)の黄色いマーカーのところについてです。
これは対称性があるからp,q,r,sの組み合わせをこのように決められるのは、対称性があるからですか。

例えば、yについてのxの方程式だと対称性がありません。画像の問題との違いは、一元の方程式だと対称性があるけれど、2元以上だと対称性があるとは言えないということですか。

KA
8 4次方程式-3-22 + ax +b=0は
1-√√5
を解にもつという。このとき, 次の問いに答え
2
よ。 ただし, a, b は有理数である。
(1) 定数a, b の値を求めよ。
(2)この4次方程式の解をp,g,r, s とするとき,
p3 +q+r3 + s3 の値を求めよ。

【解答】
f(x)=-33-22 + ax + b とおく。
1-√5
(1)a=
一とおくと,
2
2a-1=-J5
×2人=1-5
よって、
422-(1-√7)²
...... ①
(2x-1)2=5a2-α-1=0
ここで f(x)をg(x)=x2-x-1で割ると,
f(x)=g(z) (z2-2-3)+(a-5)z+ (b-3) ......②
となる。 ところでαはf(x)=0の解であり,①より
g(x)=0の解でもある。ゆえに、②より,
LEƒ(a) = 0
⇔g(a)(a^2a-3)+(a-5)a+ (6-3) = 0
⇔ (a-5)+(6-3)=0 ③
-α は無理数, a, b は有理数であるから、互いに独立
③ a-5=0,6-3=0
⇔ a = 5,b= 3
(2)(1)の結果を② に代入して
......
・・・(答)
f(x) = g(x)(z2-2-3)
= (x2-x-1)(x² - 2x-3)
よって, f(x)=0 の4解をP,g,r,s とするとき
d
pgは2-æ-1=0の2解, r,sは2-2-3=0
の2解としてもよい。 このとき, 解と係数の関係により,
p+g=1,pg=-1,r+ s=2,rs = -3
となるので,
p' +q+73 + 83
={(p+g)-3pg(p+2)}+{(r + s)-3rs(r +s)}
= (1+3) + (8+18)
= 30 ・・(答)

Answer 1

らい

p,q,r,sに対称性があるからです