Question

ONCE

写真の一枚目にある問題の(2)の図形のイメージがよく分からず、回答の流れもよく分からないので、どのような図形になるのか教えていただきたいです。写真の二枚目が模範解答です。

237(1)定積分 Sofpdt
dt を求めよ。
1+12
(2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。
[09 埼玉大 ]

1-fであるから
したがって
a=1+(1-1)cos0,
B= (1-4)2+sin0)
'+2=(1+(1-fcos0}^2+(1-1)^2+sin0)
=12+2(1-1)cos0+(1-1)² cos² 0
+(1-1)(4+4sin0 + sin 20 )
=125(1-1)2+24(1-tcos0
+4(1-1)²sin 0
=22sino-cos0 +3) 2
24sin0 -cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
20tとして, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は,半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
RS2dt=
t=π (a².
xf {22sincoso+3)2
よって
1+12
dt=
ゆえに
12
Jo1+1
+
1+tan' cos'0
-510-[0]-4
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
do
x 2 + y'Slog2-log (127) ...... ①
①を満たす実数x, y が存在するための条件は
log2log(1+24) 20
すなわち log(1+2) ≦ log2
底は1より大きいから 1+222
よって, zのとりうる値の範囲は
立体 A を平面 z=f(-1
口を表す関係式は
1)で切ったときの切り
中
x+ylog2log(1+t), z=t
ゆえに、切り口の面積をS(f) とすると
S(t)== (log2-log (1+1))
24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt
2sincos0 +3) ー(4sincoso+5)+(4sin0 +5)
fasi
=(4sin
4sin 0-2cos 0+6-12sin +3cos 0-15+12sin +15)
(4sin+cosO+6)
(3)(2)から
V=
'=mg(√17 sin(0 + A) +6)
1
ただし
sin A=-
=
cos A=-
4
=
√17
√17 CAP
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
の範囲は -1sin(0+A)≤1
立体 A は xy平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
V=
v=25' sindt
=210g2-log (1+1))dt
=2m[tlog2]-2=[flog(1+19]。
+2x+12 d
21
12
=2mlog2-2mlog2+4xo1fdes
よって、体積Vの最大値は
6+√17
3
-, 最小値は
=4T
-dt
6-√17
ーである。
3
したがって,(1)からV=4(1-4)=2(4-3)
237 体積
238 体積
不等式の定める立体(領域)の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと
きの切り口の断面積をの関数を表す。
関
出題テーマと考え方
603
出題テーマと考え方
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
12
(1)
-dt=
(2) 曲面Sの平面 x="での切り口の面積をの
関数で表す。
(1) 平面 x=uで考えると,
1+12
(x=N)
Sar=[4]-1
t=tano (002) とおくと
1
dt=
-do
COS20
t 0→1
右の図のようになる。
点O'(1, 0, 0) から線分
PQ までの距離を1とし,
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
1
Q
0
←0
44
T
P
0
11
y
よって
l="√1-u2 「トース)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

断面が円で、|z|が大きくなるほど半径が小さくなるので、多分球みたいな形です

ただ、この手の問題では、解いている最中には図形をイメージする必要はありません。イメージ出来なくても好きな平面で切って(つまり式でz=tなどと固定して)、断面積を求めて積分すれば体積は求まります。