Question

ONCE

写真の２枚目の赤いマーカーの部分のように、なぜ、切り口の面積がこのような式になるのかが分かりません。写真の1枚目は問題です。

237(1)定積分 Sofpdt
dt を求めよ。
1+12
(2) 不等式 x2+y2+log (1+z^) ≦ log2 の定める立体の体積を求めよ。
[09 埼玉大 ]

1-1であるから
したがって
a=1+(1-tcos0
=(1-1)2+sin0)
'+2=(1+(1-1)cos0)+(1-012+ sin 0 )
=12+2(1-1)cos0 +(1-1)² cos² 0
+(1-4)(4+4sin0+sin20)
=125(1-1)2+24(1-1)cos0
+4(1-1)²sin 0
=22sino-cos0 +3) 2
24sin0 -cos0 + 5 ) + 4sin 0 +5
20tとして, R (a, β, t), S(0, 0, t) とする。
立体を平面 z=t で切った切り口は, 半径RSの円で
あるから、立体の体積Vは
t=7 (a².
xf{22sin-coso+3)2
中
24sin0 -cos0 +5)t + 4sin0 +5)dt
=2sin-cose +3)-(4sin 0-cose +5)²+(4sin0+5)
ff si
= sin
す
4sin 0-2cos 0+6-12sin +3cos0-15+12sin +15)
=(4
(4sin+cosO+6)
(3)(2)から
V=
'=zg(√17 sin(0 + A) +6)
1
4
ただし
sin A=-
=
cos A=-
=
√17830SP
QがC上を1周するから, sin (0+A) のとりうる値
の範囲は -1sin(0+A)≤1
よって
1+12
dt=
12
ゆえに
1+1
+
1+tan' cos¹
-0-0-4
(2) 与えられた不等式の定める立体をAとする。
与えられた不等式から
x2+y2log2log(1+27)
do
.......
・①
①を満たす実数x,yが存在するための条件は
log2log(1+24) 20
すなわち log(1+2) log2
底は1より大きいから 1+222
よって, zのとりうる値の範囲は
立体 A を平面 z=f(-11) で切ったときの切り
口を表す関係式は
x+ylog2log(1+t2), z=t
ゆえに、切り口の面積をS(f) とすると
S(t)== (log2-log(1+
立体 A は xy 平面に関して対称であるから, 求める
体積をVとすると
v=25' sindt
V=
=210g2-log (1+1))dt
=2z[tlog2]-2-[flog(1+19]。
2t
-dt
+2=-
+2=√1+12
12
dt
=2mlog2-2=log2+4xo1ffades
よって、体積Vの最大値は
6+√17
-, 最小値は
3
=4T
-dt
6-√17
ーである。
3
839
したがって,(1)からV=4(1-4)=2(4-3)
237 体積
238 体積
出題テーマと考え方
不等式の定める立体(領域)の体積
出題テーマと考え方
線分が通過してできる曲面の回転体の体積
立体の存在範囲を調べて, 平面 z=t で切ったと
きの切り口の断面積をの関数を表す。
(2) 曲面Sの平面 x=での切り口の面積をの
関数で表す。
12
(1)
dt=
1+12
Sar=[4]-1
t=tano (002) とおくと
(1) 平面 x=uで考えると,
右の図のようになる。
2
(x=1)
点0'(u, 0, 0)から線分
1
PQ までの距離を1とし
Q
1
dt=
-do
COS20
t
0→1
△PQO′の面積を考える
と, PQ=1から
0
←0
44
2
よって
l="√1-u2 ホース
P
0
i 1
y

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

平面z=t上の切り口の境界の方程式は
x²+y²=log2-log(1+t²)です
つまり半径√ (log2-log(1+t²))の円です

その面積はπ×(半径)²なので
π(log2-log(1+t²))です