おっしゃる通り、存在します。もちろん、区間をブツブツ区切って、その左端の方をとる、中間を取る、右側をとるとかが考えられますよね(もちろん、全部がこのように一様に取られる必要も、なにかにしたがって取られる必要も無い)
しかし、Riemann積分可能な関数では、その代表点のとり方に依存しない、というわけです
一方、リーマン積分可能でない関数の1例として、閉区間[0,1]上の関数fであって、xが有理数ならf(x)を1、無理数ならf(x)を0とする関数を考えますと、区間の細分でいずれにしても有理数を代表点にしなさい、無理数を代表点としなさい、とすると、区間[0,1]積分はそれぞれ1と0になりますから、これこそが代表点に依存する例になるわけです