Question

カヤバター

数Ⅲ定積分の問題です。
積分の計算自体は分かりますがいまいち解答の流れが理解できません。xの2乗とeのt乗の大小関係を調べているという解釈であっていますか？
また、1<x≦eのとき積分区間を絶対値の中身が正or負でわけていますが、2logxで変える理由がなんとなくでしか理解できません。また、絶対値が入れ替わるようなxが0≦x≦1に存在しないこともよく分からないです。
回答よろしくお願いします。

Example 24 *****
sxse とする。 関数 f(x) = flexdtについて,次の問いに答えよ
(1)定積分を計算し, f(x) を x を用いて表せ。
(2) f(x) の最大値と最小値を求めよ。
12
解答(1)≦t≦2 において 1setse
x21 すなわち 0≦x≦1のとき
f(x)=(e'-x)dt=[e'-x²]=
1 <x≦e すなわち 1 <x≦e のとき
et-x2=0 とすると t=210gx
よって
AA
-x2t=-2x2+e2-1
0
ƒ(x)=S21°** (− e²+x²) dt +Slox (e²x²) dt
1210gx
0210gx
x2t
72
= [— e² + x²+] ** + [e' — x²+] 10xx
1210gx
[15 静岡大 ]
Key ef-x2の符号が
入れ替わるようなxが、
積分区間0≦t≦2 に存
在するかどうかで場合
kaiay+分けする。 0≦x≦1の
=(-x2+2x2logx+1)+(e2-3x2+2x210gx)
=4x210gx-4x2+e2+1
2x2+e2-1
(0≤x≤1)
4x210gx-4x2+e'+1 (1<x≦e)
ゆえに f(x)=
0<x<1のとき f1(x)=-4r
とき存在せず, 1 <x≦e
のとき存在する。
Support 1<x≦eの
ときは,el-x2の符号
に注意して,積分区間
[02] を分け, 絶対値
をはずす。
(6)
Key 区間にハー

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

> xの2乗とeのt乗の大小関係を調べているという解釈であっていますか？

その通りです
|○-☆|の絶対値を外すには、
○-☆が0以上か以下か、すなわち
○と☆の大小関係を調べることになります
よってeᵗとx²の大小を調べます

視覚的にわかりやすくするために
y=eᵗとy=x²のグラフを重ねて描くと、
この後の場合分けがわかりやすくなると思います
eᵗとx²の大小の話を、
y=eᵗとy=x²のグラフの上下の話に言い換えるわけです

これにより、2logxの件、
符号が入れ替わるxが0≦t≦2に存在するしないの件も
自ずとわかると思います

tとxの混同が見られますが、
それもグラフで整理されると思います

カヤバター

グラフにするだけで格段に分かりやすくなり、イメージも湧いて理解できました。非常に丁寧かつ迅速な回答ありがとうございます、とても助かりました。