Question

るいぼすてぃ

不定不等式の問題です。
(4)では(3)で求めた全てに当てはまるX、Ｙの値を
利用して最小値を求めるのですが、
(3)で成り立つ値というのも1つではなく、
私は解説とは異なる式で計算していったのですが、
(4)では結局解説通りの回答になりませんでした。
どなたか私が用いた値で(4)の回答を求めて頂きたいです。

※私は(4)を(X、Ｙ)＝(3N－1、2N－3)で
求めようとしました。
問題の概要等は写真の通りになります。

基礎問
147 不定方程式 ax+by=c の解
精講
x,yを整数とする.
方程式 2.x-3y=7････① について,次の問いに答えよ。
①をみたす (x, y) の1組を見つけよ.
(1) (x,y) を (α, β) とするとき, 2α-3β=7.･････ ② が成り
たつ
①,②を利用して,r-αは3の倍数で,y-β は2の倍数で
あることを示せ.
①をみたす (x, y) をすべて求めよ.
①をみたす (x, y) に対して,r-y2の最小値とそのときの
[リの値を求めよ。
ax+by=c(a,b,c は整数でaとbは互いに素) をみたす (x, y)
を求めるとき,この基礎問の(1)~(3)の手順に従います。
(1)未知数2つ,式1つですから, (x, y) は1つに決まりません。
すなわち,たくさんあるということです. その中から, 何でもいいから1組
見つけなさいということです.
(2)x-aやy-β をつくるためには,①-②をつくるしかありません.
(3) x-αは3の倍数だから, x-a=3n (n: 整数) とおけます.
もちろん、(a,β) は (1) で決めた値です.
(4)(3), x,yを1変数nで表しているので,r-y2 もんで表せます.
(1) x=2,y=-1 とすると,
2x-3y=2・2-3・(-1)=7
よって,①をみたす (x, y) の1組は (2,-1)
注 このほかにも(x,y)=(5, 1, -1, -3) などがあります.
(2)
2x-3y=7...①
{²za-3B=7
①-②より, 2(x-α)=3(y-β)

ここで,右辺は3の倍数だから,2(x-α) も3の倍数.
2と3は互いに素だから,π-α が3を因数にもつ。
よって,x-α は3の倍数.
同様に,3(y-B)は2の倍数だから,y-Bは2の倍数
(3) α=2,β=-1 だから,
(2)より,x-2=3n, y+1=2n (n:整数)と表せる.
(x,y)=(3n+2, 2n-1) (n:整数)
(4) 2-y2=(3n+2)2-(2n-1)2
=9n2+12n+4-(4m²-4n+1)
=5m²+16n+3
82
=5( n + 3)² - 49
5
nは整数だから,右のグラフより
n=-2 のとき,すなわち,
-9-
(x,y)=(-4,-5) のとき,最小値 - 9 をとる .
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不定方程式を応用して
座標系に置き換える。
-2 - -1
は
-8
に近いんがこ
3y+7
注 (4)は,①を x=
として
2
2
5 y² + 21 y + 49 - 5 (y +21)² - 49
=
問題の最小値のとなる。
から最小値が
49
5
とするのはまちがいです.それは,y は整数だからです。
また,y=-4 と y=-5のときを両方比べてy=-4 のとき,最小と考え
るのもまちがいです。それは,xが整数にならないからです.
ポイント
不定方程式 ax+by=c(a,bは互いに素) をみたす整
数の組 (x,y) は、この方程式の解の1組 (α, β) をみ
つけて aa+bβ=c をつくり, 定数項 c を消去する
第9章

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

(x,y)=(3n-1,2n-3)とすると、x²-y²の計算結果は
5(n+3/5)²-49/5
になります。
以下同様に、n=-1のとき、すなわち
(x,y)=(-4,-5)のとき、最小値-9をとる
となります。

るいぼすてぃ

ありがとうございます！
理解できました！