Question

ああいいい

一対一対応の数2の積分の問題で、(3)について質問したいです。
a≧1の時に増加するの意味が分かりません。
また、なぜ0≦a≦1の時に微分をして極小値を求めたら最小値が求まるのかも意味が分かりません。解説してもらいたいです😭お願いします😭

3 定積分関数/区間固定型 ——
0以上の実数aに対して,I(a)=faldr とおく。
(1) a≧1のとき, I (α) を求めよ.
(2) 0≦a≦1 のとき, I (α) を求めよ.
(3) I (α) の最小値を求めよ.
(神戸大文系-後/一部変更)
積分変数以外は定数
積分計算において,積分変数 (dr と書いてあったらェ) 以外は定数である.
Sュー☆ではaは定数つまりS|-4|dr [a=2の場合] のようなものだと思って,
O2と同様に絶対値をはずして計算すればよい。 αの値を決めるごとに☆の値が決まる,ということが
理解できれば 「☆はαの関数意味でI(α) と書いてある」こともわかるだろう.
解答
1(a) = f (a²-r²) dr-[4-3³]
(1) 4≧1のとき,0≦x≦1でrd'≦0 だから
dx=
y=(x+a)(x)
T
Y y=x²-a² <y=x²-a² l£x=ax
=a²-
1
3
気をつける
01 a/
だから,
(2) O≦a≦1のとき|r-q2}={a°」? (O≦x≦a) y=x-a
lx²-a² (a≤x≤1)
YA
y=x²-a²
1(a)=√ª (a² — r²) dx + f (x²-a²) dx
0
1
48
=
x³ a
3
3 14
+a2x·
3
a3
4
3
1
3
るので, x=αが積分区間
x=0~1に含まれるかどうか (つ
まり, 0≦a≦1かどうか)で場合
わけをする.この例題では≧1,
0≦a≦1 が与えられているが,こ
の場合わけは自力でできるよう
にしておきたい。
(
←第2項の積分区間の上端と下端
を入れかえ、被積分関数を -1倍.
(220) (1)
(S232 \)
(3) a≧1のとき,(1)よりI (α) は増加する.
0≦a≦1のとき,(2)よりI'(α)=4a2-2a=2a (2a-1) であるから,
増減は右表のようになる. よって, 求める
a 0
I'(a)
最小値は
1(1/2)
41 1 1
2-3+4
+ =
38 4 3
12
I(a)
1/2
1
+
0
4
-
(2)\

Answer 1

ひよこ

①a≧1のときに増加するの意味がわからない。
→a^2-1/3のグラフを描いてみるとわかると思います。
② なぜ0≦a≦1の時に微分をして極小値を求めたら最小値が求まるのか。
→a≧1のときに増加すると分かっているのだから、あとは0≦a≦1(右側の不等号に等号が付いていることに注意)での増減さえ分かれば最小値を求めることができる、という考え方です。
このような『単調増加・単調減少する区間をあらかじめ見抜いて最小値・最大値を考える区間を除外する』というのはかなり高級なテクニックで、例えば2017年京大理系⑤などで使えます。
わざわざここまでしなくとも、区間ごとに最小値をもとめて比較する方針でもこの問題は解けます。