Question

..:*♡o｡

この問題で、まず解答のような変形が初見では絶対できない（できなかった）し、分母をxでくくったとして、分子も都合よくx+1で消せるっていうのは、いちいち分子のx＾3+x+2をx+1で割れるから〜ってわさわざ筆算で解くんですか？

(4)
lim
x--1
x3+x+2
x²+x

1+mil (
x3
3+x+2
(4) lim
x-1
= lim
(x+1)(x2-x+2)
x²+x
= lim
x-1 4x(x+1))
x2-x+2
mil=
=-4
x-1
mil=
1
6
(5) = lim
-2= lim
1.6-2(x+3)il=
x (1+x)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

まずはx=−1をそのまま代入しようとしてみると、0/0の不定形となります。−1を代入して0になるということは、因数定理より分母分子は(x+1)を因数に持ちます。これで分母分子を割れば代入できるようになります

参考:因数定理
xの多項式f(x)について、
　f(a)=0 ⇔ f(x)は(x−a)を因数にもつ
　　　　(⇔ f(x)は(x−a)で因数分解できる)

Answer 2

ブドウくん

思いつけばそのほうが早いですが、分数式では分母より分子のほうが次数が高いとき、分子の次数＜分母の次数となるようにしてから計算しよう、というのは数2で習ったかと思うので、その発想があれば因数分解よりも先に割り算することになると思います。

その方針でいくと
x³+x+2=(Ax+B)(x²+x)+Cx+D
と変形できます。
暗算できるかもしれませんが、丁寧にやると、3次の係数が1なのでA=1は明らかであるから
x³+x+2
=(x+B)(x²+x)+Cx+D
=x³+(B+1)x²+(B+C)x+D
と変形でき、恒等式なので
B=-1, C=2, D=2が求まります。
よって
x³+x+2
=(x-1)(x²+x)+2x+2

よって結局、極限をとりたかった分数式全体は
(x-1)　+　(2x+2)/x²+x
となり、これの極限を求めることになります。
前半は-2です。
後半は
2(x+1) / x(x+1)
なのでx+1で約分すると、2/xとなり-2となります。
よって-4です。