Question

ドーナツ

（2）で（1）をx=1/nとして考えるのの思いつき方が分かりません。なぜこうすると考えれるのでしょうか？

85
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
(1) x>0 のとき
1
log(1+x)>1+10g
X
26
x+2
tov
e
(2)n nが正の整数のとき e-1+
n
1024, 加速度
<
2n+1
a=6

EX
次の不等式が成り立つことを証明せよ。
2
④85
(1)x>0 のとき ~10g(1+x)>1+log
x+2
x
<-
(1) 与えられた不等式の両辺にx (0) を掛けて
(2) nが正の整数のとき e-(1+1/2)" 27°+1
n
e
log (1+x)>x+xlog
2
x+2
この不等式は,与えられた不等式と同値である。
f(x)=log(1+x)-x-xlog
2
x+2
とする。
f(x)=log(1+x)-x-x {log2-log (x+2)}
=log(1+x)+xlog(x+2)-(1+10g2)x
と変形できるから
1
f'(x)=
1+x
(a-x)
(S-x)
O(x)\
+1・10g(x+2)+x・ -(1+log 2)
1
0x+2
1+x+10g(x+2)+(1-x+2)-(1+10g2)
+x42+l0g(x+2)-log2
(0
f"
S" (x) == (1 + x)² + (x²+ 2)²
1
1
2
+
(1+x)2(x+2)x+2
-(x+2)2+2(x+1)+(x+1)2(x+2)
(x+1)(x+2)2
S

x(x+5x+5)
=
(x+1)²(x+2)²
x>0 のとき
f" (x)>0
ゆえに, x≧0 f'(x)は増加し
f'(0)=1-1+log2-log2=0
よって, x>0のとき
f'(x)>0
ゆえに,x0 で f(x)は増加し
T<f(0)=log1=0
第4章 微分
よって, x>0のとき
f(x)>0
すなわち, x0
log(1+x)>x+xlog- 2
x+2
両辺をx(0) で割ると
x
110g(1+x)>1+10g 2
x+2
f(x)
(2) (1) で証明した不等式においてx=
1
とおくと
n
よって
n
log(1+1)>1+log 2+1
2n
る。
log
ゆえに 10g 1+ >log
0g(1+1/2)
e.2n
2n+1
よって (1+1/2)^
n 2ne
>
2n+1
1200
2n
1
2
ここで,
=1-
であるから
2n+1
2n+1
すなわち
ゆえにて
したがって (1+1/22n+1
(1+1)>(1-2n+1)
(1+1)" >e-2n+1
e-(1+1)"
X200
I+xmia
e
2n+1 (x)=y

微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

(1)の式を使いたいので(2)の両辺の対数を取りたい。logは掛け算には強い(logXY=logX+logYが使える)が、足し算や引き算には弱いので、まず(2)を変形して、右辺と左辺を1項ずつにする

(与式)
　⇔e(1-1/(2n+1)) < (1+1/n)^n
　⇔e･2n/(2n+1) < (1+1/n)^n
　⇔loge+log(2n/(2n+1)) < nlog(1+1/n)　(∵底e>1)
　⇔nlog(1+1/n) > 1+log(2/(2+1/n))　…(＊)

この式と(1)を比較すれば、(1)でx=1/nとすればよさそうだと分かる。

(1)は任意のx>0に対して成り立つから、x=1/nとすれば(＊)が成立。よって題意は示せた
(証明終了)

ドーナツ

丁寧にありがとうございます