Question

yu

この問題を解く時にkf+g=0を使うらしいのですが、なぜ片方の式にしか文字（今回だとk）がつかないのですか？

「基本例
812直線の交点を通る直線
2直線x+y-4=0 ......
①, 2x-y+1=0 ......
たす直線の方程式をそれぞれ求めよ。
(1) 点 (1,2)を通る
00000
②の交点を通り。 次の条件を満
(2) 直線x+2y+2=0 に平行
基本8
指針
2直線 ①,②の交点を通る直線の方程式として、次の方程式 ③を考える。
k(x+y-4)+2x-y+1=0 (々は定数)
(1) 直線③が点(-1,2)を通るとして,kの値を決定する。
(2)平行条件ab2-a2b1=0 を利用するために, ③ を x, yについて整理する。
CHART 2直線f=0g=0の交点を通る直線 kf+g=0 を利用
は定数とする。 方程式
x+y-4)+2x-y+1=0 ...... ③
2直線①②の交点を通る直線
を表す。
(1) 直線③が点 (-1, 2) を通るか
ら
-3k-3=0
すなわち k=-1
これを③に代入して
-(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち x-2y+5=0
①
(-1,2)
(2)③をxyについて整理して
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
直線 ③ が直線x+2y+2=0に平行であるための条件は
(k+2) 2-(k-1)-1=0 よって
k=-5
これを③に代入して
-5(x+y-4)+2x-y+1=0
すなわち x+2y-7=0
別解として, 2直線の交
点の座標を求める方法
もあるが、 左の解法は今
後、重要な手法となる
(p.168 例題 106 参照)。
検討
与えられた2直線は平
行でないことがすぐに
わかるから確かに交
わる。 しかし, 交わる
かどうかが不明である
2直線 = 0, g=0の
場合, k+g=0の形
から求めるには,2直
線が交わる条件も必ず
求めておかなければな
らない。
③表す図形が, [1] 2直線 ①②の交点を通る [2] 直線である
ことを示す。
[1] 2直線の傾きが異なるから 2直線は1点で交わる。 その交点(x, y) は,x+y-4=0.
2x+1=0を同時に満たすから,kの値に関係なく, k(x+yo-4)+2x+1=0が成り
立ち, ③は2直線 ①②の交点を通る。
[2] ③ を xyについて整理すると
(k+2)x+(k-1)y-4k+1=0
k+2=0, k-1=0を同時に満たすkの値は存在しないから,③は直線である。
なお、③は,kの値を変えることで, 2直線 ①②の交点を通るいろいろな直線を表すが、 ①だ
けは表さない。
練習 2直線x+5y-7=0, 2x-y-4=0 の交点を通り, 次の条件を満たす直線の方程式
81 をそれぞれ求めよ。
(1) 点(-3,5)を通る
(2) 直線x+4y-60に (ア) 平行
(イ) 垂直
133

二直線の関係

Answer 1

鯛のお造り

sf+tg=0の形で使うこともありますが、両辺をtで割って、s/t=kとおくと、kf+g=0と1文字で表せるので普通はそちらを使います
ただし、kf+g=0では、f,gの交点を通る図形のうち唯一、もとの式でt=0のパターン、つまりf=0は表せないことに注意してください(g=0はk=0とすれば表せる)

yu

返答ありがとうございます。いくつか質問があるのですが、どういう時にこの式を使えばいいのか、また、どうしてこの式で答えを求められるのか知りたいです。再びすみません。

鯛のお造り

f(x,y)=0とg(x,y)が点P(p,q)で交わるとすると、Pはf上の点かつg上の点なので代入して成り立つ、すなわち、
　f(p,q)=0　かつ　g(p,q)=0…①
が成り立ちます。
ここで、図形C:kf(x,y)+g(x,y)=0を考えると、①より
　kf(p,q)+g(p,q)=0
が成り立つ、すなわちPはC上の点でもあります。交点が複数ある場合も同様に成り立つから、Cはf=0とg=0の交点を全て通る図形となります。この考え方を束(そく)と言い、特にf,gが直線なら直線束、円なら円束と言います。(もちろん直線と円や、円と三次関数などでも成り立ちます)

以上の理由から、「2つの図形(大学入試ではおもに円か直線)の交点を通る図形を求めたいとき」に使えます。
大学入試では、
　・2直線の交点を通る直線のうち～なもの
　・2円の2交点を通る円のうち～なもの
　・2円の2交点を通る直線(k=-1とすれば2次の項が消えて直線の方程式となる)
　・円と直線の2交点を通る円のうち～なもの
のどれかであることが多いです。基本的に「～」の部分の条件を使ってkを求めます