Question

ドーナツ

この問題の（2）でh+1がhなら積分を微分したら積分の中身にhを代入したものになるのは分かるんですけど、なぜh+1でも成り立つかが分からないです。

重要 例題 179
量と積分
00000
で水を注いだときの、水の体積をVとする。 Vをんの式で表せ。
(2) (1)の容器に単位時間あたり2の割合で水を注ぐとき, 水の体積がとな
(1) 曲線 y=ex をy軸の周りに1回転してできる容器に深さがんになるま
った瞬間の水面の上昇する速さを求めよ。
CHART & SOLUTION
(1) Vは回転体の体積。
π
重要 107 基本 168,176
y y=ex²
深さん→座標ではん+1であることに注意。
h+1
(2) 水面の上昇する速さ→
dh
dt
h
グラフは
y 軸に関
ん を で表すのは難しそうなので,
dvdvdh
して対称
=
dt dh dt
0
x
利用して求める。
解答
(1) y=ex2 から
よって
x2=logy
Ch+1
= x²dy=logydy
V=π
x [yl
=πylogy-y
1h+1
11
=z{(n+1)log(n+1)-(n+1)-(log1-1)}
={(n+1)log(h+1)-h}
(2)V=πのとき (1) から
ん+1>0 であるから
(h+1)log (h+1)−h=1
log(h+1)=1
dV
dh+1
よって意
dh
dh
Non Shilogydy)
==лlog (h+1)=π
081
Slogxdx
=xlogx-x+C
1
V
dv_dv.
dh
dh 2
=
-=2から
s
00
dt dh dt
dt
π
x

積分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鯛のお造り

(d/dx)∫[p(x)→q(x)]f(y)dy=f(q(x))q'(x)-f(p(x))p'(x)を示します
f(y)の原始関数のひとつをF(y)、すなわちF'(y)=f(y)とすると、
　(d/dx)∫[p(x)→q(x)]f(y)dy
　=(d/dx)[F(q(x))-F(p(x))]
　=F'(q(x))q'(x)-F'(p(x))p'(x)　(合成関数の微分法)
　=f(q(x))q'(x)-f(p(x))p'(x)
教科書にはp(x)=定数, q(x)=xの場合のみ載っていますが、一度積分してから微分することを考えればpやqがどんな関数であっても微積分学の基本定理を用いることが出来ます(大学入試でもごく稀にq(x)=x^2とかが出ます)
(例)
　(d/dx)∫[x→x^2+1]sinθdθ
　=cos(x^2+1)･(x^2+1)'-cosx･x'
　=2xcos(x^2+1)-cosx
今回であれば、
　(d/dh)∫[1→h+1]logydy
　=log(h+1)･(h+1)'-log1･(1)'
　=log(h+1)

ドーナツ

とても分かりやすいです！ありがとうございます！