Question

らぃおん

青チャート例題38（2）(3)より2次式の解の種類について質問です。
Kの場合わけしないといけないのは分かるのですが何故(2)は実数全てにおいて異なる二つの実数解になるんですか？
(3)のように>0、=0、<0で場合分けする必要はないんでしょうか？
また(2)のような答えになるものと(3)のような答えになるものの違い、見分ける方法はありますか？

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88
基本 例題 38
2次方程式の解の判別
0000
(3)x2+2(k-1)x-k2+4k-3=0
次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。
(2) 2x²-(k+2)x+k-1=0
(1) 3x²-5x+3=0
基
k
p.66
指針 2次方程式 ax2+bx+c=0の解の種類は, 解を求めなくても, 判別式D の符号だけで
別できる。
異なる2つの実数解
質
公小
2次方程式の解の判別
D=0⇔重解 重解はx=-
2a
D0⇔異なる2つの虚数解
解答
(2),(3) 文字係数の2次方程式の場合も,解の種類の判別方針は,(1)と変わらないが
がkの2次式で表され,kの値による場合分けが必要となることがある。…………
与えられた2次方程式の判別式をDとすると
(1) D=(-5)-4・3・3= -11<0
をも
よって、異なる2つの虚数解をもつ。
つの
(2) D={-(k+2)}-4・2(k-1)=k+4k+4-8(k-1)
=k-4k+12=(k-2)2+8
ゆえに、すべての実数kについて
よって、異なる2つの実数解をもつ。
する
D>0
(3) 1/2=(k-1)^-1.(k+4k-3)=2k²-6k+4
=2(k2-3k+2)=2(k-1)(k-2)
よって, 方程式の解は次のようになる。
D0 すなわちん <1,2 <kのとき
異なる2つの実数解
D = 0 すなわち k=1, 2 のとき
重解
D<0 すなわち 1 <k<2のとき
異なる2つの虚数解
D<0
一D>0」
CHES OF T
{-(k+2)}2 の部分は,
(1)2 =1なので, (+2
と書いてもよい。
1+CIDA
ax2+2b'x+c=0 では
D
4
α <βのとき
利用する
(x-α)(x-B)>0
⇔x<a, B<x
α <βのとき
(x-α)(x-B)<0
⇒a<x<B
D>0-
2
練習
次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 ただし, kは定数とする。
31-12x
指

二次方程式の解の種類 解の判別

Answer 1

MathLove

(k－2)²＋8は常に0より大きい事が一目瞭然だから(2)では場合分けをしていない。(3)では2(k－1)(k－2)という形で0より大きいかどうかなどが一目瞭然ではないから場合分けをした。