Question

RFA(あるふあ)

多様体を構成するために、位相空間に完全アトラスを導入するところで質問です。

完全アトラスを導入するメリットとして、この文章の下線部を「異なる座標系を用いたのに同じ計算ができてしまうという問題が解消される」解釈したのですが、そこがよくわかりません。座標系を変えて計算すると結果が異なる方がよほど問題だと思うのです(例えば、ℝ2において1点を固定した長さ1の線分が掃過する領域は円であり、その面積はデカルト座標を用いても極座標を用いてもπになるはずです)。そうすると、完全アトラスを導入するメリットがいまいちわかりません。

下線の解釈はこれで合っているのでしょうか。もし違うのであれば、どのように考えるべきなのでしょうか。

ちなみに、このテキストはB.O’NeillのSemi-Riemannian Geometry with application to relativityという相対論の教科書の最初の方です。

よろしくお願いします。

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Two n-dimensional coordinate systems & and ŋ in S overlap smoothly
provided the functions on¯¹ and ŋo §¯¹ are both smooth. Explicitly, if
: U → R" and ŋ: R", then ŋ 1 is defined on the open set ε (ur)
→ ° (UV)
V
and carries it to n(u)—while its inverse function § 4-1 runs in the
opposite direction (see Figure 1). These functions are then required to be
smooth in the usual Euclidean sense defined above. This condition is con-
sidered to hold trivially if u and do not meet.
Č (UV)
R"
Ĕ(U)
n(UV)
R"
S
n(v)
Figure 1.
1. Definition. An atlas A of dimension n on a space S is a collection of
n-dimensional coordinate systems in S such that
(A1) each point of S is contained in the domain of some coordinate
system in, and
(A2) any two coordinate systems in ✅ overlap smoothly.
An atlas on S makes it possible to do calculus consistently on all of S. But
different atlases may produce the same calculus, a technical difficulty
eliminated as follows. Call an atlas Con S complete if C contains each co-
ordinate system in S that overlaps smoothly with every coordinate system in C.
2. Lemma. Each atlas ✅ on S is contained in a unique complete atlas.
Proof. If has dimension n, let A' be the set of all n-dimensional
coordinate systems in S that overlap smoothly with every one contained in A.
(a) A' is an atlas (of the same dimension as ✅).

多様体 アトラス