多変数版の微積分学の基本定理です。
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem
ここでは経路γを原点からqまでの直線経路にとっていて、r(t)=tq になっています。
するとそのあとの式は
g(q)=g(0)+Σgi(q)qi
とすべきですね。
>uiというのは、n次元ベクトルの第i成分を抜き出す関数
そうだったんですね。それならそれでいいと思います。
多様体の接空間に関する基底定理の証明です。g(q)=∫〜と定義した関数を微積分学の基本定理を用いながら変形してg(q)=g(0)+∑gᵢuⁱと導出するのですが、これがうまくいきません。
自分は、g(q)の式をまず両辺tで微分して、次に両辺uⁱで積分して、最後に両辺tで積分する事で、一応g(q)=g(0)+gᵢuⁱという形の式を得ることができました。
しかし、そもそも右辺はtの定積分であり、これを両辺tで微分すると0になってしまうのだろうから、このやり方は良くないと考えています。なので正しい導出方法を知りたいです。
多変数版の微積分学の基本定理です。
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem
ここでは経路γを原点からqまでの直線経路にとっていて、r(t)=tq になっています。
するとそのあとの式は
g(q)=g(0)+Σgi(q)qi
とすべきですね。
>uiというのは、n次元ベクトルの第i成分を抜き出す関数
そうだったんですね。それならそれでいいと思います。
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gradient theorem を用いることは分かりました。 uiというのは、n次元ベクトルの第i成分を抜き出す関数なので、Σ gi (q) u i (q)とすると良いですか?