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多様体の接空間に関する基底定理の証明です。g(q)=∫〜と定義した関数を微積分学の基本定理を用いながら変形してg(q)=g(0)+∑gᵢuⁱと導出するのですが、これがうまくいきません。

自分は、g(q)の式をまず両辺tで微分して、次に両辺uⁱで積分して、最後に両辺tで積分する事で、一応g(q)=g(0)+gᵢuⁱという形の式を得ることができました。
しかし、そもそも右辺はtの定積分であり、これを両辺tで微分すると0になってしまうのだろうから、このやり方は良くないと考えています。なので正しい導出方法を知りたいです。

12. Theorem.If{ = (x', , x") is a coordinate system in M at p, then its coordinate vectors d, lp, …… 0,l, forma basis for the tangent space T,(M); and D= E(x) 。 i=1 for all ve T(M). Proof. By the preceding remarks we can work solely on the coordinate neighborhood of G. Since u(c) = Othere is no loss of generality in assuming ど(p) = 0eR". Shrinking W if necessary gives E(W) = {qe R":|q| < } for some 8. Ifg is a smooth function on E(W) then for each 1 <isndefine og (tq) dt du g(9) = for all qe {(W). It follows using the fundamental theorem of calculus that g= g(0) + E&,u' on (W). Thus if fe &(M), setting g = f。' yields f= f(P) + Ex on U. Applying d/ax' gives f(p) = (f /0x)(P). Thus applying the tangent vector e to the formula gives (f) = 0+ E(x'(p) + E Ap)u(x) = E(Px). ず ax Since this holds for all f e &(M), the tangent vectors v and Z Ux') d,l, are equal. It remains to show that the coordinate vectors are linearly independent. But if ) a, o.l, = 0, then application to x' yields dxi 0=24 (P) = 2q d」= 4. In particular the (vector space) dimension of T,(M) is the same as the dimension of M.
多様体 接空間 基底定理
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回答

多変数版の微積分学の基本定理です。
https://en.wikipedia.org/wiki/Gradient_theorem
ここでは経路γを原点からqまでの直線経路にとっていて、r(t)=tq になっています。
するとそのあとの式は
g(q)=g(0)+Σgi(q)qi
とすべきですね。

最頻

gradient theorem を用いることは分かりました。 uiというのは、n次元ベクトルの第i成分を抜き出す関数なので、Σ gi (q) u i (q)とすると良いですか?

Crystal Clear

>uiというのは、n次元ベクトルの第i成分を抜き出す関数
そうだったんですね。それならそれでいいと思います。

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