Question

わ。

1:8についてです
1と8がそれぞれ赤い部分なのか青い部分なのかはどのようにしてわかるのでしょうか？

練
問
84 2つの放物線で囲まれた図形の面積
2つの放物線y=3x +12x ①, y= 5x-12x･･･ ② で囲まれた図形をF とする。
(1) 図形Fの面積Sは, S アイ である。
(2) 放物線 ①②の原点 0 以外の交点をAとする。 直線 OA の方程式はy= ウ x である。
S₁₁: S₁ = I
よって、直線 OA と放物線で囲まれる図形の面積を St, 直線 OA と放物線②で囲まれる図形の面積を S, とすると,
オである。
(3) 直線 y=mx(m>ウ) が図形 F の面積を1:8に分けるという。 このとき,直線y=mx と放物線 ①で囲まれた
[カキ]
図形の面積Sをm を用いて表すと, S, =
m.
[ケコ]
となるから, m の値を求めるとm=
である。
(1) 放物線 ①,②の共有点のx座標は, 2式を連立させて
-3x + 12x = 5x-12x より
よって, 図形Fの面積Sは
x=0,3
S₁ =
S = =-3x
-3x2+12x)-(5x-12x)}dx
=-8" x x(x-3)dx = -8.{-1/12(3-0)2}=
(2)x=3を① に代入すると, y=9であるから
よって, 直線 OA の方程式は y=3x であるから
=S-3
= 36
A(3, 9)
-3x2 +12x)-3x}dx
1
=-3fx
x(x-3)dx= -3•
-3.{-(3-0)} = 27
27 45
S = S + S2 より
Sz = S-S=36-
2
2
27 45
したがって S1 S2 =
=3:5
2
A
St
0
3
S
S₁ = −3 ſ*x(x− 3)dx
S2=
=S(3x-(5x-12x)}dx
(3)m>3において, 直線 y=mxが0<x<3 の範囲で放物線 ①と
交わるとき, y = mx と ① を連立させて
x{3x-(12-m)}= 0 より x = 0,
12-m
0<-
<3より3m<12
3
12-m
3
Ss=
12-m
3
mx = -3x2 +12x
{(-3x²+ 12x) - mx}dx =-3
12-m
12-m
-3√ √(x - 12m)dx
--3-1-1/2 (12="_o)'}= (12-m)
= =3
3
54
直線 y=mx が図形Fの面積を1:8に分けるとき,
=-5x(x-3)dx
であるから,定積分の値を計算
しなくても S:S2 = 3:5 とわ
かる。
(12-m)3
9S3 S が成り立つから 9.
= 36
54
よって
(12-m)=216
12-m は実数であるから, 12-m=6より
これは3<m 12 を満たすから m = 6
090
m = 6
216=6
放物線と1直線,2放物線で囲まれた図形の面積は,∫(x-a)(x-B)dx = 1/2(B-α) を利用せよ
6
(p.171)
右の図のような面積を求めるときには,必ず
f(x-1)(x-B)dx=-1/2 (B-α)が利用できる。
6
この公式を用いるときは,面積を定積分で表してから,x2の
V KV
B
係数αをくくり出して Saf (xa)(x-β)dx の形で表すことが大切である。5円

S
A
3
x
S₁