Question

めんたりすと

数Iの問題です。左の写真が問題、右が解説です。赤のカッコで囲んであるところが、解説読んでも分かんなかったです。なぜこの解説の式になるのか知りたいです。

なぜこの式になるのか分からなくても全然いいので、自分なりの考え方がある人がいたら、参考にさせていただきたいので、回答してくださるとうれしいです！🙏

1. 次のア~シに適する数字(0~9) を答えよ。
(1) 6x2+7xy+2y2+x-2を因数分解すると
ア x+y(ウ x+2y+ エ)である。
(2) A=x+x2+x+1, B=x-x²+x-1のとき,A,Bを因数分解すると
A=(x+オ)(x2+カ), B=(x-キ)(x²+ク)である。
A-B の展開式におけるxの係数はケコである。
(3)a+b+c=11, ab+bc+ca=17のときa+b2+c2= サシである。

1 (1) 6x2+7xy +2y2 + x-2
=6x2+(7y+1)x+2y2-2
=6x2+(7y+1)x+2(y+1)(y-1)
={2x+(y-1)}{3x+2(y+1)}
=(2x+y-1)(3x+2y+2)
<16
(2) A = x + x2+x+1=x2(x+1)+(x + 1)
=(x+*1)(x2+1)
B=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)+(I
A3-B3=(x+1)(x2+1)(x-1)(x2+1)3
={(x+1)-(x-1)}(x2 + 1)3
={(x3+3x2+3x+1)- (x3-3x2+3x-1)}
x(x2+1)3
=(6x2+2)(x+ 3x4 + 3x 2 + 1 )
(
((1+0).
これを展開したとき, xの項は
6x2.3x4 +2.x=20x6
(+))=
よって, xの係数は20
(3) (a+b+c)2=a2+62+c2 + 2ab + 2bc+2ca
よって
a2+b2+c2
=(a+b+c)2-2(ab + bc+ca)
=112-2.17=サシ87
(ア)
3
(イ)1(ウ)
(エ) 2
(オ)
1
(カ) 1
(キ) 1 (2) 1
(ケ)
(5) 2
(コ)
(1) 0 A
(サ) 8
(シ) 7

Answer 1

mo1

参考・概略です

　展開公式　(a＋b＋c)²＝a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca　を変形しています

　　●両辺を入れ替え

　　a²＋b²＋c²＋2ab＋2bc＋2ca＝(a＋b＋c)²

　　●左辺の「＋2ab＋2bc＋2ca」を右辺に移項して

　　a²＋b²＋c²＝(a＋b＋c)²－2ab－2bc－2ca

　　●右辺に移項したものを「－2」でくくり

　　a²＋b²＋c²＝(a＋b＋c)²－2(ab＋bc＋ca)

　　●与えられた条件の値「a＋b＋c＝11、ab＋bc＋ca＝17」を右辺に代入し

　　a²＋b²＋c²＝(11)²－2・(17)

　　●右辺を計算し

　　a²＋b²＋c²＝121－34＝87

Answer 2

わさび

a+b+cの値が与えられて、a²+b²+c²の値を求めるという問題なので、ひとまずa+b+cを2乗して展開してみています
展開は分配法則で9回かける方法でもいいですし、今回のようなときに使える公式もあります

展開すると1行目の式になるので、
(a+b+c)²-2ab-2bc-2ca=a²+b²+c²(←右辺をa²+b²+c²だけにするために、2ab+2bc+2caを移項)
(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=a²+b²+c²(←-2をくくる)
a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca) (←左右の入れ替え)
で解説の式になります。