Question

サイクロ

数一・Aで集合の問題を解いていてふと疑問に思ったのですが、よくわからなかったので困っています。どうか教えてください。お願いします。

【問題】平面状に異なるn個(nは自然数)の円があり、どの2個の円も2点で交わり、どの3個の円も同じ点で交わらないとする。この時、n個の円で、平面は何個の部分に分けられますか？

図はn=1,2,3,の時の例です。

円1個
2
円 2個
2 3
4
円3個
3
2
4
ST
8

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

れお

数Bの知識でなら解けるけど、数1Aの集合で？

答えとか解説ってありますか？

サイクロ

返信遅れてすみません。特に解答や解説はないです。

れお

ちょっと説明が難しいけれど

1つ重なる部分、2つ重なる部分…と分類していくと法則が見つかる。

ここで、2,4,8,と来たら、n＝4の時は16じゃないの？と思うかもしれない。しかし、n＝4の図を見てほしい。A∩B∩CやA∩C∩Dはあっても、A∩Cだけの部分は存在しないのだ。同様に、B∩Dも図示不可能。
だから、n＝4の場合は、16－2＝14となる。
nが5以上でも、必ず図示出来ない部分集合が発生する。
つまり、4つ以上の要素では、全ての部分集合を円で表すことは不可能。これが、ベン図が3つまでの要素でしか使えない理由です。

ちなみにこの問題は、数Bの漸化式という分野では、かなり定番問題です。
でも数1Aの範囲で解けるなんて知らなかった。
いい問題だね

わからなかったらまた聞いてください🙇🏻

サイクロ

解説を読んで納得できました。丁寧に教えていただいて助かりました。ありがとうございます

れお

こちらこそお役に立てて良かったです！