Question

もちもち

数列が収束しないとlimを分配できないのはわかるんですが、それを一つ一つ解答に書かないとダメですか?普通の計算問題だとそのまんま答え出すのに？、、

問
42 数列の極限 (II) (無限等比数列)
73
liman=r (収束)
mn+1
注
第n項が
1+2"
(-1)で表される数列の収束, 発散を次の各場
12-00
E
r>1 のとき, limy”は発散しますが,逆数をつくれば0</1/1 <1
となり, lim
合について調べよ .
12-00
'=0 と収束させることができます. 次の(4)も同じ要
(1) r=1
(2) -1<r<1
(3) r>1
(4) r<-1
領です.
精講
等比数列 {r"} の極限,すなわち, limyの値によって次のよ
うになります.
極限値0 (-1<r<1)
極限値1 (r=1)
収束
limr"=
+8
(r>1)
発散
振動する (r≦-1)
この基礎問は誘導がついていますが,このことを頭に入れておけば,自力で
場合分けをすることができます。
しかし、この問題は式が分数の形をしていますから, limr", lim y"+1 を求
めたとしても不定形になる可能性があります.
72-00
12-00
解答
mn+1
an=
1+r"
(r≠-1) とおく.
(1)r=1 のとき, an=1/2
.. liman= =1/2束)
12-00
(2) -1<r<1 のとき, limr" = limy”+1=0 だから,
n→∞
liman=0 (収束)
12-00
(3) r>1のとき, an=-
n→∞
0
0
10 以外の定数
r
分子, 分母をr” でわっ
+1
ておく
01<1だから,lim
=0
71α
(4) r<-1 のとき, an=
+1
-1<1/12<0だから, lim (1)"=0
7→8
r
.. liman=r (収束)
→∞
注 極限を求める問題の解答をかくとき, うかつに lim 記号を分配し
てはいけません.
極限が lim (an+bn) = liman+limb となるのは
liman=a, limbn=β (α, 'B:定数) の形のとき
n→∞
n→∞
すなわち, 数列 {a} と数列{6} がともに収束するときです. だから,
解答のように各項が収束していることを先に示さなければなりません.
ポイント
「極限値0(-1<<1)]
収束
極限値1(r=1)
・limy”=
n→∞
+8
(r>1)
発散
振動する (r≦-1)
・ うかつに lim 記号を分配しない
演習問題 42
第n項が
man+1+1
2n+1
で表される数列の収束, 発散を調べよ.
第4章

注 極限を求める問題の解答をかくとき, うかつにlim 記号を分配し
てはいけません.
極限が lim(an+6n)=liman+limb となるのは
n→∞
n→∞
n→∞
liman=α, limbn=β (α, 'B: 定数) の形のとき
n→∞
n→∞
すなわち, 数列{an} と数列{6} がともに収束するときです. だから,
解答のように各項が収束していることを先に示さなければなりません.

極限値 無限等比数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

>それを一つ一つ解答に書かないとダメですか?普通の計算問題だとそのまんま答え出すのに？、、

とのことですが、
一つ一つ書かなくてはいけない？問題ってありますか？
具体的な問題と、こう書いて済ませたいのに
こう書かなくてはいけなくて面倒、
な例を挙げてもらえますか？

もちもち

この問題でたとえば（4）番のようにr=-1のとき-1<1/r<0だからって書かずに直で答えを書くのはダメなの？って感じです。いちいち書かなきゃ行けなかったら普通の無限等比数列の問題（rが定数の）でも書かない解けなくならない?ってことです

和

質問の意図、理解しました

いちいち「-1<1/r<0だから」と書くのは
公比に文字定数rを含むからです
「公比がこのような数だから、その∞乗はこうなります」
ということを説明しているに過ぎません
これは書いた方がいいでしょう、根拠なので
頭の中にあることを書くのが答案です
文字定数がどんな範囲にあるか、は重要で、
これまでもしっかり書くことが多かったかと思います

なお、公比が3や1/3など具体的な数なら、
「0<1/3<1より」とまで説明しなくても
n→∞で(1/3)ⁿ→0は自明としてよいかと思います

ということで、以上の話はlimを分配するしないの話とは
また別の話かと思います
実際、その答案は-1<1/r<0を示したあとも分配していない
（分配した式を書いていない）でしょう

もちもち

なるほど、この問題はrが定数でないからrの条件でこうなりますよってことを言いたい問題だからしっかりと根拠を書かなければいけないってことですね。
で、普通の問題は極限値を答えるのがメインだからいちいち書かないと。腑に落ちました！回答ありがとうございます‼︎