Question

たたた

写真は平面曲線(y＝f(x)で表せないグラフ)の接ベクトルと接線の方程式について述べたものなのですが、２つほどわからないことがあります。
①写真の赤線部のように接ベクトルは媒介変数t0で表されたx=ψ1(t0),y=ψ2(t0)をそれぞれ微分したものの成分(つまりγ'(t0)=(ψ1'(t0),ψ2'(t0)))が接ベクトルということですが、これがなぜ接ベクトルになるのかがわからないです。
確かに写真のようにPPh→/|PPh→|のhを0に近づけたら(つまりPhをP0に近づける)赤丸の式のようにγ'(t0)が分子に出てきますが、これはPPh→/|PPh→|のときに出てくるのであってPPh→だけのときにhを0に近づけてもγ'(t0)にはならないと思いました。
(lim[h→0]PPh→= γ'(t0)は成り立たない)なぜ、γ'(t0)=(ψ1'(t0),ψ2'(t0))が接ベクトルになるのか解説おねがいします。

②青線部は媒介変数t0における曲線の接線の方程式ですが、これは高校数学の数IIで習う直線の方程式と比べると単位接ベクトルが接線の傾きになっていると思うのですが、なぜ単位接ベクトルが接線の傾きになるのでしょうか？

以上の2点について回答おねがいします。

3.6.2 平面曲線の接ベクトル
41(t), 42(t) を [a,b] 上の連続関数とする.t∈ [a, b] に対して平面上の
点 (41(t), 2(t)) を考える.ここで t を [a, 6] 内で動かすとそれに応じて点
(41 (t), 2 (t)) は平面上を動く. tに (41(t), 2(t))を対応させる写像
Y: [a, b]t(41(t), 42(t))
を t∈ [a, b] をパラメータとする平面上の連続曲線, あるいは単に平面曲線という.
特に [a, b] 上の連続関数 41,42 が (a,b) 上で微分可能であるとき連続曲線~
は可微分,あるいは可微分曲線という。[a,b] (41(t), 42(t)) を可微
分曲線とする.to ∈ (a,b) とする.このとき平面ベクトル
4

ののともと
しなくては
(to)=(41(to),'2(to))
3.6 ベクトルの方向余弦と曲線の接ベクトル 47
である. ゆえに
接ベクトルといい, 接ベクトルの方向余弦
が |~' (to)| > 0 をみたすとき, '(to) をこの曲線の点(pi (to), 2(to)) における
'(to)
を単位接ベクトルという.
| (to) |
lim (Pi(to)
h→0
'2(to)
(to)
'(to)
となっている. したがって
'(to)
は 「接線と考えられる直線」の方向余弦に
y' (to)
y' (to)' ' (to)
y=f(x) のグラフの接線を求めたときの考
Y' (to)を接ベクトルと呼ぶ理由.
え方を使って、曲線上の点Po= (41(to), 42 (to)) における接線の方程式を求
めてみよう。以下,| (to) > 0 とする.
まず点Pの十分近くの曲線の点Ph=(41(to+h),2(to+h)) をとり
クトル PPh= (41 (to+h)-41 (to), 2(to+h) - ♀2 (to)) を考える.このベ
クトルの方向余弦をとおく.
Th=
=
PPh
PP
41(to + h) - 41(to)
42(to+h)-2(to)
(j(to+h)-4j(to))2
(4j(to+h)-4j(to)) 2
である.Tは直線 PPの向きを表していると考えられる. いまん→0 とする
と,直線 PPh は P での 「接線と考えられる直線」 に近づいていくので, 直線
PPの方向余弦は「接線と考えられる直線」 の向きに限りなく近づいてい
く。そこでんとしたとき君がどのようになるのかを調べてみよう。 =
(i) ho...
(Ti,h, T2,h) とおくと, i = 1,2 に対して
Ti,h=
j=1
Vi(to + h) - i(to)
(4(to+h)-45(to))2
Pi(to + h) - i(to)
h
1
(to)
+ h) = 4, (10))
'pj(to+h)
1
→(to).
Vi(to)
y' (to)
(h→0)
4'₁(to)²
2
xh (
なっている.
さて、以上の考察は直観的に 「接線と考えられる直線」 について述べてきたが,
じつはまだ接線の数学的な定義を与えているわけではない。 以上の考察から、次
のような定義をする.
◆定義 3.3 ◆ 平面上の連続曲線: [a,b
(41(t), 2 (t)) が (a,b)で
可微分であるとし, (to)>0 (to = (a,b)) であるとする. このとき,直線
'(to)
(t-to) (-∞<t< ∞0)
y' (to)
Ly(t) = y(to) +
を点(to)での曲線の接線という。
|y' (to) = 0 の場合はどうなるのか? じつは|Y (to) = 0 となるような点(to) はこ
の曲線の特異点と呼ばれ, 接線は存在するとは限らない。 たとえばサイクロイドと呼ばれ
る曲線 ~y(t) = (t-sint, 1-cost) はt-sint も 1-cost も (-∞∞) 上で微分可能
であるが, |y'(0)|=0であり, (0)=(0,0) では接線を持たない (下図参照)。 本書で
は曲線の特異点については立ち入らない. なお特異点でない点は正則点と呼ばれる。
-2π
0
2π
図 3.12 サイクロイド
なぜ、
8
問題 3.2
サイクロイドの
での接線の方程式を求めよ.