✨ ベストアンサー ✨
変な言い方ですが、
あなたの最初の質問内容で、質問の材料は十分
と私は理解しています
この方法は難しいですよね
これまで根本を解説しているところも見当たりませんでした
結論は微妙ですが、私なりの理解を共有しますね
実は点のとり方は、「ある程度は」自由なのです
たとえばウエは、それぞれ1個左でもうまくいきます
（この場合、ウを通るもの…(5!/4!1!)×(6!/4!2!)=75
エを通るもの…1×(7!/2!5!)=21
で、同じ結果になりますね）
しかし、たとえばエがウの下にあるとよくないです
ウを通る経路とエを通る経路に被りが出るので、
足して引くという面倒な話になるのでなるべく避けます
数え漏らしがあるような分け方はもちろんだめです
上の例のように重複しても引けばいいのですが、面倒です
なるべくなら互いに排反な場合分け……★ が理想です
通らなければならない点の斜めとか、
通れないスペースの角から斜めとかいう特徴は、
たぶん見てあなたもすでに掴んでいるかと思います
さて、天下り的な結論ですが、上の★を実現するのが
進行方向（この場合右上）の垂直（っぽい）方向、
つまり左上←→右下方向に点をとることです
（完全な垂直でなくてよいし、
すべての点が一直線上でなくてよい）
なぜか？ そうするとうまくいく傾向にあると、
私は体感的に経験的に納得してしまいました
これ以上理屈立っては説明できません
（ただ、そこらへんを根本から説明した本やサイトが
調べた限りでは見られないのは、
上のような考えでうまくいくのは感覚的に当たり前、と
私が思うだけでなく、広く認知される考えだから……
なのかもしれません）
結局、各交差点に、そこまでの経路数を書き込む、
という方法の方が結局楽な感じではありますね
でも、これも大事な方法だったかと思います
ということで、斜めに点を置くとうまくいく、
ただし、漏れなく重複なく点をとるのが原則、
そんなふわっとした感じの結論ですが、どうでしょうか？
個人的には、このぐらいの追求で、
それなりに場合分けがうまくいき、解けます
回答ありがとうございます。
多岐に渡る和さんのお考えを共有してくださり、読んでいてとても納得できました。
この問題においては決定的な理由を探すのではなく、和さんが書かれていたような、ふわっとしたなんとなくの理解で終わらせたいと思います。
本当にありがとうございました。