Question

らいは

ウ、エ、オの解説お願いしたいです🙇‍♂️🙇‍♂️
ちなみに答えは、ウはan+1、エは1/2an+3/2、オは-1/2nの二乗+3　です！

14 次の会話はさや先生と生徒のリコちゃんの会話である。
□に適切な数や数式を入れよ。 【思判表】
リ コ「さや先生、やばいやばい、この問題難しすぎてわからないよ助けて!」
さや先生:「慌てすぎですよリコさん、どんな問題か見せてみて。」
リ
「この問題です! 全然わかりません!」
問題: 数列{a} の初項から第n項までの和 S, が, S„=-a+3n+2によって定められている。
を求めよ。
【各1点×5=5点】
一般項 an
01
さや先生:「なるほど、これはなかなか考える問題ですね!じゃあわかりそうなものから求めてみましょう!」
「まず、この数列の初項から求めてみましょう。」
リ コ:「んーっと、a=S]だから…」
a₁₁ =
さや先生:その通りです。 ではここで、 S+1 を考えてみましょう。
リ
コ: 「S+1 ですか? S, の式のn を n+1に変えればいいだけだから･･･」
Sn+1=
さや先生:「いいですね! それでは、S+1-S, はどう書けるかわかりますか?」
リ
コ:「えっと... S„- Sn1 = a„だったから・・・」
S+1-Sm=
「こうですか?」
さや先生:「あってます! そうすると次のような漸化式を作ることができますね!」
an+1=
「あとはこれを解くだけです!」
リ
コ:「なるほど! 特性方程式で変形して、数列{a, -3} の初項を求めて・・・・・・できた!この数列の一般項は・・・」
a,, =
「こうですね!」
さや先生:「よくできました!!!!この調子ならテストも大丈夫そうですね!」
リ
コ:「さや先生、ありがとうございます!」

数b 漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

Ｓ[n]＝－ａ[n]＋3n＋2　…　①

●アについて
　ａ[1]＝Ｓ[1]　より

　ａ[1]＝－ａ[1]＋3＋2　を　a[1]について解き

2ａ[1]＝5　から　

　ａ[1]＝5/2　…　②

●イについて
Ｓ[n]　 ＝－ａ[n]　 ＋2n　　 ＋1　で、n→n＋1　とし

Ｓ[n＋1]＝－ａ[n＋1]＋3(n＋1)＋2　を整理し

Ｓ[n＋1]＝－ａ[n＋1]＋3n＋5　…　③

●ウについて
Ｓ[n]　 －Ｓ[n－1]＝ａ[n]　　で、n→n＋1として

Ｓ[n＋1]－Ｓ[n] ＝ａ[n＋1]　…　④

●エについて
④に③，①を代入

{－ａ[n＋1]＋3n＋5}－{－ａ[n]＋3n＋2}＝ａ[n＋1]

　両辺を入れ替え

ａ[n＋1]＝{－ａ[n＋1]＋3n＋5}－{－ａ[n]＋3n＋2}

　整理し

2ａ[n＋1]＝ａ[n]＋3

　両辺2で割り

　ａ[n＋1]＝(1/2)ａ[n]＋(3/2)　…　⑤

●オについて
⑤より、両辺から3を引き
　ａ[n＋1]－3＝(1/2)ａ[n]＋(3/2)－3

　ａ[n＋1]－3＝(1/2)ａ[n]－(3/2)　の右辺を(1/2)でくくる

　ａ[n＋1]－3＝(1/2){ａ[n]－3}

②より、a[1]－3＝(5/2)－3＝－(1/2)　で

　ａ[n]－3　は、初項－(1/2)、公比(1/2)の等比数列で

　ａ[n]－3＝－(1/2)・(1/2)ⁿ⁻¹　となり

　　 ａ[n]＝－(1/2)・(1/2)ⁿ⁻¹＋3

らいは

ありがとうございます！