例題 5
の数列のいずれかの項である自然数を小さい順に50個並べてできる数列を {cn} とする。
2つの数列{an},{6}があり, 一般項はそれぞれan=2"-1,bn=2nである。 この2つ
数列{cm} のすべての項の和を求めよ。
考え方。
数列{cm} の 50 項を,数列{an} に含まれる項と数列{6}に含まれる項とに分けてそれぞれの和を
求める。その際、同じ自然数を二重に足してしまうことを避けるため、2つの数列に同じ自然数がな
まれるかどうかを確認しておく。
解法のプロセス
1 2つの数列{an},{bn}に同じ自然数が含まれるかどうかを確認する。
② 数列{cm}に含まれる数列{an}の項と数列{bn} の項を求める。
3 数列{an} の項と数列{bn} の項に分けて和を求め, 合計する。
解答
と
数列{an}のすべての項は奇数であり、数列{6m} のすべての項は偶数
である。したがって、2つの数列{an},{6} の両方に含まれる自然数
は存在しない。
an
ここで,644=88であり,数列{a}は
(税込)
1,3,7, 15, 31, 63, 127,
246810
であるから
a6<b44<a7
である。これと, 数列{an}, {bn} はともに増加する数列であることから,
数列{c}には,数列{an} の a1,a2, ..., 46の6項と,数列{6}の
b1, 2, ..., b の44項が含まれる。
よって、 求める和をSとすると
6
44
6
44
S=a+b= (2-1)+ 2k
◆･･ 12つの数列{an},{6m}に同
じ自然数が含まれるかどうかを確
認する。
◆ ② 数列{cm} に含まれる数列
{a} の項と数列{bm} の項を求め
る。 項を書き並べてみると, 数
列{c} の大半の頃は数列{6} の
項であると予想される。 そこ
で bso を求めてみると bs) =100
であり,これと数列{a}の項と
を見比べて、数列{cm}に含まれ
る {a} の最大の項と{b.}の最
大の項を探す。
k=1
k=1
k=1
44
=(1+3+7+15+31+63) +2k
k=1
=120+2•
44.45
2
Reken
=2100 ･･･ 答
えよう
の項に分けて和を求め、合計する。
=1
(2-1)は
k=1
k=1
6
k=1
k=1
12k.
224-21=
と計算することもできる。
2(26-1)-6
2-1
