Question

ウッズ

数列です。(1)を教えてください

別解じゃない方は、(2n-2k+1)個の格子点が並ぶ、からわかりません。別解の方は最初からわからないです。解きやすい方でいいので、解説してほしいです。

青チャート　数B　例題32

重要 例題 32 格子点の個数
00000
xy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる 格子点(x 座標)
標がともに整数である点) の個数を求めよ。 ただし, nは自然数とする。
(1) x≥0, y≥0, x+2y≤2n
指針
(2) x≥0, y≤n², y≥x²
「不等式の表す領域」は数学IIの第3章を参照。
nに具体的な数を代入してグラフをかき, 見通しを立ててみよう。
(1) n=1のとき
x+2y=2・1
n=2のとき
YA
x+2y=2.2
(2
n=3のとき
ya
x+2y=2・3
-20
3211
座
基本20.21
[T]
→
X
-1
10
3
2
n=1のとき
1+3=4,
n=2のとき
1+3+5=9,
n=3のとき
x
72
toko
1+3+5+7=16
一般(n) の場合については, 境界の直線の方程式 x+2y=2n から x=2n-ly
よって, 直線 y=k(k=n, n-1, ......, 0) 上には (2η-2k+1) 個の格子点が並流
から 2-2k+1) において, k = 0, 1, ...... n とおいたものの総和が求める
となる。

(1) 領域は,右図のように, x軸, y 軸, 直線
で囲まれた三角形の周および
YA
n
n 1
内部である。
直線y=k(k=n,n-1,
0) 上には,
(2n-2k+1) 個の格子点が並ぶ。
1
よって、格子点の総数は
0
12
A=0
(2-2k+1)=(2n-2.0+1)+Σ(-2k+2n+1)
k=1
=2n+1-2.1/2n(n+1)+(2n+1)n
=n2+2n+1
=(n+1) (個)
線分x+2y=2n (0≦yan)
上の格子点 (0, n), (2,n-1),
..... (2n, 0) の個数は n+1
y
x+2y=2n
n
y=
(x=2n-2y)
x
45
2n-21 2n
2n-1
k=0 の値を別扱いにし
たが、
-2k+(2n+1)1
k=0
--2(+1)
k=0
+ (2n+1) (n+1)
でもよい。
②の方針
長方形は, 対角線で2つ
の合同な三角形に分けら
れる。
4(0, 0), (2n, 0), (2n, n),
(0, n) を頂点とする長方形の周
および内部にある格子点の個数は
(2n+1)(n+1)
0
2n
(n+1)個
ゆえに、求める格子点の個数を Nとすると
2N-(n+1)=(2n+1)(n+1)
よってN=1/12 ((2n+1) (n+1)+(n+1)}
=1/12(n+1)(2n+2)=(n+1) (個)
よって
(求める格子点の数)×2
(対角線上の格子点の数)
=(長方形の周および内
部にある格子点の数)
(2)

数列 格子点

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

き

まず格子点の数え上げの考え方ですが

① 領域内にy=0のような横に直線を引き、その直線上の格子点のうち領域内に入っているものを数える
② y=0が数え終わったらy=1, y=2,…と繰り返して数える
③ 全て数え終わったらそれらを足しあげる

ということを行います。

これだと文字が入っていない場合には対応できるのですが、今回の問題のようにnのような文字が入ってくると対応できないので、上記の考え方を少しアレンジします。

まず横に引く直線を「y=k (k=0,1,2,…,n)」と一般化し、その直線上の格子点を数えます。
このときの格子点の個数が2n-2k+1個になります(画像参照)。
(ここの個数が2n-2kではなく2n-2k+1なのは1からではなく0から数えているためです。
参考：整数nから整数mまでの整数の個数はm-n+1個
例：32から65までの整数の個数は65-32+1=34個)

それをあとは足しあげれば良いので、0からnまでのΣを取ります(計算は参考書通り)。

別解の長方形を数えて半分にする方法はやや煩雑なので今回は省略します。

【補足】
問題によっては横に直線を引くのではなく縦に引く(x=k)ことがあります。
この違いは領域の境界となっている直線と縦や横に引いている直線との交点が格子点になっているかどうかで分かれます。
今回仮にx=kと引いた場合、
y=-1/2 x+nとの交点は(k, -1/2 k+n)となりkもnも整数なので、kの値によってはこれは格子点になりません。
このまま進めることもできますが、kの偶奇で交点が格子点になるかならないかが分かれるため、場合分けが発生することになります。

y=kであればy=-1/2 x+nとの交点は(k, 2n-2k)となり、これはkの値によらず格子点となっているため場合分けが発生せず、横に直線を引くのが適切だと判断できます。

長文になりましたが理解できましたでしょうか？
質問あればお気軽にしてくださいね。

ウッズ

回答遅れてすいません
ありがとうございます！