Question

れもん

赤線部において、条件を満たすことはどうやったら分かるのですか？🙇🏻‍♀️

卵 2点 0(0,0), A(3,0) からの距離の比が2:1である点Pの軌跡
ージ 10
を求めよ。
解答 点Pの座標を (x, y) とする。
YA
P(x,y)
Pに関する条件は
21
A
3
X
OP: AP=2:1
0
これより
2AP= OP
すなわち
4AP2=OP2
AP2=(x-3)2+y2, OP2 = x2+y2
を代入すると
4{(x-3)2+y2}=x2+y2
整理すると
x2-8x+y2+12=0 すなわち (x-4)2+y2=22
よって、点Pは円 (x-4)2+y2=22 上にある。
逆に,この円上のすべての点P(x, y) は,条件を満たす。
したがって,求める軌跡は,点 (4,0) を中心とする半径 2 の円で
ある。

図形と方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きぃ

必要十分条件がかぎとなります。
まず、上での議論は必要条件となります。そのため、本当に戻れるのかはわかりません。どこかで同値性が崩れているかもしれません。
そこで、十分条件も確かめなければなりません。
そこで、答えとして出てきたものを、
展開
移行したりして整理
AP^2,OP^2に戻す
両辺割る
比に戻す
とすると、条件にもどれることがわかります
なので成立ですね。これを書いても良いのですが、簡単すぎるのでこれくらいであればふつう「逆も成立する」程度にしか書きません。必要十分条件というのがミソです。
逆が成り立たないものを挙げますと、
x=2→x^2=4とかですかね
これは逆が成り立ちません。このようなことが軌跡の問題でもたまに起こります。

れもん

遅くなりました🙇‍♀️ ̖́- 分かりました✨️ありがとうございます！