Question

芽瑠

この問題教えてください

10. a, b を実数の定数とし, iを虚数単位とする.
についての方程式
x+ax2+bx+20=0
..(*)
がx=2-iを解にもつとき, a=-□, b=□であり
方程式(*)のx=2-i以外の解は
x=-□, □+□ iである.
(23 中京大)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ブドウくん

x=2-iを解にもつので、その共役複素数2+iもまた、✱の解です。したがって、✱は(x-(2+i))(x-(2-i))=x²-4x+5で割り切れて、その商は高々2次式であるから●x²+○x+△のように置けます。
最高次の係数が1なので、商の最高次は「1とかけて1になるような数」すなわち1です。また、定数項についても、20になるので、商の定数項は「5とかけて20になるような数」すなわち4です。したがって商は
x²+cx+4
とおけます。（○のところをcに書き換えました。）
あとは係数比較するだけです。
(x²-4x+5)(x²+cx+4)=x⁴+ax²+bx+20
の3次の項を比較すると
c-4=0
2次の項を比較すると
4-4c+5=a
1次の項を比較すると
-16+5c=b
よってc=4なのでa=-7, b=4となります。
一方でx²+cx+4=x²+4x+4=(x+2)²
となったわけだから、x=-2を2重解として持っています。