Question

おにぎり

(3)の3枚のまるで囲んだところがよく分かりません。

Z5 四面体 OABCにおいて, OA=OBOC=AC=1,AB=BC=√3 である。辺BC
1:2に内分する点をDとし、線分ODを3:1 に内分する点をEとする。また,点Eか
ら直線ABに引いた垂線と直線AB との交点をHとする。さらに,OA=d, OB=6,
OC=cとする。
B
2
A
2
OEを6,Cを用いて表せ。 また,値を求めよ。
OH を a, b を用いて表せ。
16||c3|s0
(3)線分 EH 上の点をPとし, △OAP の重心をG とする。 点Pが線分EH上を動くとき,
点Gが描く線分の長さを求めよ。
(配点 40 )
P

G
OH a,6を用
(3)
解法の糸口
点P は線分 EH 上にあるから, OP = (1-tOE+OHtは0≦t≦1 を満たす実数) と表すことができる。
らに,OAP の重心がGであることから (1) (2)の結果を用いて, OG をt, a, b, c を用いて表す。 その後
が 0≦t≦1 の範囲で動くことから,点Gが描く線分に関しての方向ベクトルを求める。
点Pは線分 EH上にあるから
OP= (1-tOE+tOHt0t1を満たす実数)
とされる。
OP = (1-0) (½ + ½ c) +1 (½ à +236)
+
4
さらに,OAP の重心がGであるから

うにして
A=OC=AC=1
正三角形であるから
AllOCIcos AOC
1x cos 60°
OG = OA+0
OA + OP
3
a+
- {(1+)+(+)6+(-4)}
c+
1+1+1+1+16-12)
a
18
であるから
3
OF = 1 ½ a +1 6+
a+
12
c
12
で定まる点をF とおき
u
とおくと
18
「重心の位置ベクトル
△ABC の重心をGとすると
OG
OA+OB+OC
3
AOAB の重心の場合
OG
00 + OA + OB
=
3
OA+OB
3
OG = OF +tu
と表される。
また、点Pが線分EH上を動くとき, tは 0≦t≦1で変化するから,
OI = OF +u で定まる点をIとおけば,点Gは線分FI上を動く。
よって, 点Gが描く線分の長さは
ここで
1
FI=||=36l4a+26-3c|
4a+26-372
=16a2+46+9+16a 6-126.-24.a
=16×1+4×1 +9×1+16×(-1/2)-12×(-1/2)-24×1/27
=15
であるから,4a+26-300 より
4+26-30 = √15
以上より, 求める長さは
√15
Gは点F を通り、を方向ベク
トルとする直線上にある。
<FI=OI-OF="
36
Z6
微分法 (40点)
答
√15
36
αを定数とし,eは自然対数の底とする。 関数 f(x)=(x-a)ex があり、f'(0) = 2 を