Question

ちはやふる

数IIの方程式の問題です。

（３）の問題を2枚目の回答の☆のやり方で
解いたのですが、答えの➖５分の６が出てきません。

3枚目の写真のように解いたのですが、
どこが間違っていますか？
教えて下さい。

学習日
月
03
実戦問題 63 3次方程式の解とその個数
Pick Up
60
Pick Up
【90
Lv2
C12m
min
αを実数とする。 xの3次方程式 x+2(a-1)x-(3α-2)x-2a-4 = 0... ① について考える。
(1) αの値にかかわらず, 方程式 ① は x[ア]を解にもつ+x+(
=
609.4
(2)方程式 ①が虚数解 α B をもつときの値の範囲は [イウ<a<エである。(s)q
さらに, a, βがα2 + B2 = 2 を満たすとき, 定数αの値は a =
(3) 方程式 ①が異なる3つの正の解をもつとき、定数αの値の範囲は
コ
シス
[キク <a<
9
サ
<a<ソタである
SA
オ
である。
力
(x)9
(2)
(8+S+ x)(S-1) & (x)q

大野左
実戦問題63 3次方程
α を実数とする。 xの3次方程式 x+2(a-1)x2-(3α-2)x-2a-4 = l
(1)a の値にかかわらず, 方程式 ①はx=ア
を解にもつ。
(2) 方程式 ① が虚数解 α, β をもつとき, αの値の範囲はイウ <a< エ
α, β が α +β2 = 2 を満たすとき, 定数αの値は α =
オ
カ
エ
である。
である。
「ケコ
(3) 方程式 ① が異なる3つの正の解をもつとき, 定数αの値の範囲はキク <a<
解答
(1) P(x)=x+2(a-1)xー(3a-2)x-2a-4 とおくと
P(2) = 8+8(a-1)-2(3a-2)-2a-4=0
(
8+20+ (2), (8+x)(
サ
シス
セ
定数項は
<a
-2a-4=-2(a+2)
であるから
に
(+2) を代入して
<因数定理>
多項式 P(x)においてP
αを因数にもつ
⇔P(a)=0
Kev
よって, P(x)はx-2で割り切れる。
右の組立除法の結果より
2
1 2a-2-3a+2 -2a-4
P(x)=(x-2)(x2 +2ax+α+2)
2
4a
2a+4
+
①は (x-2)(x2+2ax+a + 2) = 0
となるから
1
a+2
2a
ET
0
x = 2 または x+2ax+α+2=0
すなわち, ① はαの値にかかわらずx=2を解にもつ。
(2)方程式 ①が虚数解α β をもつとき2次方程式
x2 +2ax+a+ 2 = 0 ... ② が虚数解 α, β をもつ。
よって, 2次方程式 ②の判別式をDとすると
4
D= a² - (a+2) = (a+1)(a−2) < 0
⇔D<0
2次方程式が虚数解をもつ
ゆえに -1<a<2 ... 3
(e-)0.0 (8)
また、2次方程式の解と係数の関係により
練
習
kは定数
x-
(1) 直線
(2)直
(3)
3
(4)直
標を
Key
2
α+β = -2a ... ④, aβ = a +2
I
α + β° = 2 を満たすとき(α+B)22a2+B2 = (az+B) - 20
④ ⑤ を代入して (-2a)-2(a+2) = 2
2 (2-3)(a+1)= 0 であるから,③ より + α =
a=
3
2
Key 2 (3) 方程式 ①が異なる3つの正の解をもつとき, 方程式 ② は x=2を
満たす異なる2つの正の解か,g をもつ。
1.06-
x=2が方程式 ② の解ではないから
4+4a+α+2≠0より a --
6
次に, 方程式 ②が異なる2つの実数解をもつから
D
= (a+1)(a-2)>0より
a<-1, 2<a
4
...⑦
また,p>0,g > 0 であるから
よって(-2<a<0
p+g=2a> 0 かつ pq = a +2> 0
・⑧
⑥~⑧ より 求めるαの値の範囲は
6
6
-2<a<
5
Ka<-1
5
攻略のカギ!
2次方程式が異なる2つの実
数解をもつ
⇔D>0
2次方程式 f(x) = 0 の異な
ある2つの実数解がともに正
ある
D>0, >0, f(0)>
を用いてもよい。

(3)
Oc2+2ax+at2が
異なる2つの正の実数解を
持つのは
D>O,
軸0,
fco) > 0
③
①
①
②
4a²-4a-8>0
(a-2) (at ISO
a<-1
a<2
②(x+a)²-a2+a+2
③
- a > 0 >711 a<o
at2>○つまりa>-2
③F