回答

参考・概略です

 3色のうちから2色を選び…₃C₂=3

 選んだ2色の組み合わせが、
  (4,1)…1~5のうち(4枚,1枚)で、₅C₄×₅C₁= 5× 5= 25通り
  (3,2)…1~5のうち(3枚,2枚)で、₅C₃×₅C₂=10×10=100通り
  (2,3)…1~5のうち(2枚,3枚)で、₅C₂×₅C₃=10×10=100通り
  (1,4)…1~5のうち(1枚,4枚)で、₅C₁×₅C₄= 5× 5= 25通り
   計:250通り

 以上から
  ₃C₂×(25+100+100+25)=750通り

 補足
  1種類…₃C₁× 1= 3通り
  2種類…₃C₂×250=750通り
  3種類…{(₅C₁・₅C₁・₅C₃)+(₅C₁・₅C₂・₅C₂)}×3=2250通り
 全体:₁₅C₅=3003,

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