Question

riii

図形と式 軌跡と領域
領域と直線x+y=kが共有点を持つときの、直線の切片の最大値最小値を求める問題です。上限は分かるのですが、下限を求める時に、どうしてAを通る接線の傾きを求めてx+y=kの傾きと大小を比べるのかが分かりません。いきなりAの座標をx+y=kに代入して出してはダメなんでしょうか。
なんのためにAを通る接線の傾きを出しているのか教えて頂きたいです。お願いします🙇‍♀️

要点
159. (1) xy 平面において, 連立不等式x2+y^2-4x≦0,x2+y2+2y≧0の表す領域
A HE
を図示せよ.
(2)直線x+y=kが(1)の領域と共有点をもつための, kに関する条件を求め
.
(青山学院大)

与えられた不等式の表す領域は,円 ①の
内部または周と円 ②の外部または周の共通
部分であるから,次図の灰色の部分 (境界
を含む)
y
O
4-5
2
2
-1-
-2
8-5
式を
①
4
→x

(2)円 ①の中心を点 M, 円 ① ② の交点のう
ち、原点と異なる方を点Aと呼ぶことにす
る.
直線x+y=k
④
は,傾きが-1でy切片がんの直線である.
直線④が円①に接するとき,Mから④ま
での距離が, ①の半径に等しいから,
|20-k|
-=2.
√12+12
|-2|=2√2
k=2±2√2
よって図よりんのとり得る最大値は,
k=2+2√2
また,MAの傾きは,
①
8
-0
5
4
4
3
-2
5
6589A+
であるから,Aにおける ①の接線の傾きは 16
であり,④の傾きより大きいから, kが
最小値をとるのは④がAを通るときとなる.
よって、のとり得る最小値は,
軌
4
4
k=x+y=-
y 4 (k=2+2√2)
k=-
→x
M
以上より,満たすべき条件は,
≦k≦2+2/2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

与えられた直線の傾きによっては
どこで最小となるかが変わってきます

今回基準となるのは点Aでの接線の傾き-3/4です
これと比べて初めてどこで最小かがわかります

記述式において、その辺の記述なく
「Aを通るとき最小」と勝手に結論づけると
満点はもらえません

riii

図だけで、傾きが−1だとAを通る時が下限になるだろうという固定観念がありました。確かに、傾きがAを通る接線より大きいと共有点が2つになりますね。

分かりやすい例のおかげで理解することが出来ました。記述で答えの根拠や証明する部分が苦手なのでこういった説明はありがたいです。
よくわかりました！ありがとうございます🙇‍♀️