Question

ming831

怎麼算
答案124

設三次函數f(x)=6x²-29x²-6x+5,則下列何者為真?
(1)若x∈ R,則方程式 f(3)=0有兩個相異實根
(2)若x>0,則方程式f(logzx)=0有三個相異實根
(3)若0<x<2元,則方程式 f(sinx)=0有兩個相異實根
(4)若一 <x<ㄛ,
則方程式 f(tanx)=0有三個相異實根
2
(5)若x∈R,則方程式 f(x)=0有兩個相異實根

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

qn

5個選項的差異只在於
f的自變數範圍不同
所以先找3個根的位置

令 f(x) = 6x³ - 29x² - 6x + 5 = 0
由一次因式檢驗法測得 f(5) = 0，得一解 x = 5
因式分解出 (x - 5)
6x³ - 29x² - 6x + 5 = (x - 5)(6x² + x - 1)
→ 6x³ - 29x² - 6x + 5 = (x - 5)(3x - 1)(2x + 1)
得3個解依序為 -½, ⅓, 5

(1) 自變數範圍 3ˣ > 0，f在範圍內有2相異實根

(2) 自變數範圍 log₂x 為所有實數，f在範圍內有3相異實根

(3) 自變數範圍 -1 ≤ sinx ≤ 1，f在範圍內有2相異實根
但注意 sinx 非單調函數
sinx = -½ 以及 sinx = ⅓ 在 0 < x < 2π 範圍內各有2相異實根
故共有 4 相異實根

(4) 自變數範圍 tanx 為所有實數，f在範圍內有3相異實根

(5) 自變數範圍 x³ 為所有實數，f在範圍內有3相異實根