Question

✊🏻🎀

数C、複素数平面です！！
(2)まではかろうじて理解できたのですが、
3の解説①からがよくわかりません！
解説お願いします！！

4
4
278* α = cos +isin⋅ π のとき, 次の問に答えよ。
5
5
(1) α,2,3,αは方程式 25-1=0の解であることを示せ。
(2)αは方程式 z +2 +2 +z +1=0 の解であることを示せ。
(3)(1-α) (1-α²) (1-α) (1-α) の値を求めよ。
A
273

5
4
278 (1) a=cOS
nisin 1/3 より
a³
=cos(5.1/32x)+isin(5.1/13)
=cos4z+isin4z=1
ド・モアブルの定理
よって, αは方程式 2-1=0の解である。
また,f(z) = 2-1 とすると,= 1 より
ƒ (a²) = (a²)5 − 1 = (a5)² - 1 = 0
f(a°)=(α)-1= (α)-1=0
(-)ƒ (a¹) = (a¹)³ − 1 = (a³) 4 − 1 = 0
(m) よって,a,c,d も方程式 2-1=0の解である。
+
(2)αは方程式 21=0の解であるから
a5-1
= 0 +
よって (a-1) (a^ + α+α+α+ 1) = 0
α キ1 であるから a + α + α+α + 1 = 0
一般に
x"-11
よって、 α は方程式 2 +2 +2 +z + 1 = 0 の解である。
= (x-1)(x"-1 + x7-2
(3) 1= cos0 +isin0
18(a)+:+1)
4
4
a = cos
π+isin
8
a²
= COS
05
π+isin
5
85
π
12+isin12x=cos 1/2x+isin
= COS
5
16
COS
5
16
5
a = cos π+isin π= COS-
5
65
+isin
よって, 1, α, α', d', α はすべて異なる。
したがって, (1) より
また
25 65
π
π
5
12² = 2x+2
π
f(z)=(z-1)(za)(za)(za)(z-α^)
f(z)=25-1=(z-1) (z+28 +22 +z+1)
① ② より
(za)(za)(za)(z-α^)=2+2+2+z +1
ゆえに, z = 1 を代入して
(1-4) (1-α) (1-α) (1-α^)=1+1+1+1+1= 5
・①
... 2
5
16x=x+2
5 5
+2π
1, a, a², a³, a'it
f(z) = 0 の解である。
さ

数c 複素数 複素数平面

Answer 1

GDO

同じような解説になってしまいますが、少し補足を入れました。
z⁵－1=0の5つの解は、1、α、α²、α³、α⁴であることがわかったので、
z⁵－1=(z－1)(z－α)(z－α²)(z－α³)(z－α⁴)と因数分解できる。…①
また、z⁵－1=(z－1)(z⁴+z³+z²+z+1)に因数分解できる。…②
①と②は両方とも、z⁵－1なので、
(z－1)(z－α)(z－α²)(z－α³)(z－α⁴)=(z－1)(z⁴+z³+z²+z+1)
↓共通因子(z－1)を消す
(z－α)(z－α²)(z－α³)(z－α⁴)＝(z⁴+z³+z²+z+1)
↓z=1を代入してみると、
(1－α)(1－α²)(1－α³)(1－α⁴)＝(1⁴+1³+1²+1+1)
(1－α)(1－α²)(1－α³)(1－α⁴)＝5

===================
展開しながら、α⁵=1、1+α+α²+α³+α⁴=0を使うと
求めることができます。
(1－α)(1－α⁴)×(1－α²)(1－α³)
=(1－α－α⁴+α⁵)×(1－α²－α³+α⁵)
↓αはx⁵=1の解なので、α⁵=1
=(2－α－α⁴)×(2－α²－α³)
=4－2(α+α²+α³+α⁴)+(α+α⁴)(α²+α³)
↓α+α²+α³+α⁴=－1
=4+2+(α³+α⁴+α⁶+α⁷)
↓α⁵=1
=4+2+(α³+α⁴+α+α²)
↓α+α²+α³+α⁴=－1
=4+2－1
=5