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①0<a[n]-4の証明
a[n]>4であることを証明する。
a1=5、a2=5/2+8/5=41/10…
となるので、a[n]>0であるから、相加相乗平均を使って
a[n]/2+8/a[n]≧2√(a[n]/2)×(8/a[n])
=4
よって、a[n]/2+8/a[n]≧4
等号成立はa[n]/2=8/a[n] → a[n]=4
となり、成立しないので、
a[n]/2+8/a[n]>4
→ a[n+1]>4 n+1→nとしても差し支えないので、
a[n]>4だから、a[n]-4>0
②a[n]-4≦1/2ⁿ⁻¹の証明
①から、a[n]>4なので、
1/a[n]<1/4
→ 8/a[n]<2 から、
a[n]/2+8/a[n]<a[n]/2+2
と書き替えることができるので、
a[n+1] =a[n]/2+8/a[n]<a[n]/2+2
→ a[n+1]< a[n]/2 +2
→ a[n+1]-4<(1/2)(a[n]-4)
→ <(1/2)²(a[n-1]-4)
→ …
→ <(1/2)ⁿ⁻¹(a[1] -4
= (1/2)ⁿ⁻¹
よって、a[n]-4<1/2ⁿ⁻¹
n=1のとき、
a[1]=5で等号が成立するので、
a[n]-4≦1/2ⁿ⁻¹
よって、0<a[n]-4≦1/2ⁿ⁻¹