Question

芽瑠

この問題教えてください

B 14. 以下の問に答えなさい。
(1) P(x)=x2022 をx2+1で割ったときの余りを求
めなさい.
(2) a=22022とする. Q(x)=(x+1)2022 を x 2 +1
で割ったときの余りをαを用いて表しなさい.
(22 兵庫県立大・社情)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あ

(1)整式S(x)と実数a,bを用いて
P(x)=S(x)(x²+1)+ax+b･･･①と表す。
このときx=i,-iのとき(x²+1)=0となるので、
(ⅰ)x=iを①に代入する
(左辺)=P(i)=i^(2022)=(-1)^(1011)=(-1)×(-1)^(1010)=(-1)×1^(505)=-1
(右辺)=0+ai+b
aとbは実数なので、(左辺)=(右辺)となるのは
a=0かつb=-1のとき、
(ⅱ)x=-iを①に代入すると
(左辺)=P(-i)=(-i)^(2022)=(-1)^(1011)=-1
(右辺)=0-ai+b
aとbは実数なので(左辺)=(右辺)となるのは
a=0かつb=-1のとき
以上(ⅰ)(ⅱ)よりP(x)=S(x)(x²+1)-1なので
P(x)を(x²+1)で割った余りは-1となる。

(2)整式T(x)と実数a',b'を用いて、
Q(x)=T(x)(x²+1)+a'x+b'･･･②と表す。
このときx=i,-iのとき(x²+1)=0となるので、
(ⅰ)x=iを②に代入する
(左辺)=Q(i)=(i+1)^(2022)=(-1+2i+1)^(1011)=(2i)^(1011)=｛(2)^(1011)}×｛(i)^(1011)｝=｛(2)^(1011)}×(i)×｛(-1)^(505)｝=｛2^(1011)｝×(-i)
(右辺)=0+a'i+b'
a'とb'は実数なので、(左辺)=(右辺)となるのは
a'=(-1)×2^(1011)=-√aかつb=0のとき、
(ⅱ)x=-iを①に代入すると
(左辺)=Q(-i)=(-i+1)^(2022)=(-1-2i+1)^(1011)=(-2i)^(1011)=｛2^(1011)｝×｛(-i)^(1011)｝=｛2^(1011)｝×(-i)×｛(-i)^(1010)｝=｛2^(1011)｝×(-i)×｛(-1)^(505)｝=｛2^(1011)｝i
(右辺)=0-a'i+b'
a'とb'は実数なので(左辺)=(右辺)となるのは
a'=-｛2^(1011)｝=-√aかつb'=0のとき
以上(ⅰ)(ⅱ)よりQ(x)=T(x)(x²+1)+(-√a)xなので
Q(x)を(x²+1)で割った余りは(-√a)xとなる。

あ

誤字訂正:
(2)
10行目:b→b'
11行目①に代入→②に代入