Question

みみ

n^5-nが30の倍数になる証明を教えて頂きたいです。

れることから
同様のことを使う例をやってお
50
C
例
すべての正の整数nについて nnは5の倍数であることを
-
【例
(1)
示せ。
極的法とか。で割った余りで分類するなど、いろんな方法があります。
ここでは上のことを利用します。
《解答》nnnn4-1)=n(n2-1)(n2+1)
=(n-1)n(n+1)(n2 + 1)
=(n-1)n(n+1){(n2-4) +5}
ここでn-2,n-1,n,n+1,n+2のいずれかは5の倍数だから, n-
= (n-2)(n-1)n(n+1)(n + 2) + 5(n-1)n(n+1)
は5の倍数である.
2. 一般に,
連続するn 個の整数の積はn! の倍数である
が成り立ちます。 直接の証明はやりにくいので,二項係数 (組合せの数だか
らもちろん自然数) を用いると, kが正の整数のとき
k(k + 1)..... (k+n-1) (n+k-1)!
n!
=
n!(k-1)!
=n+k-1Cn=(整数)
となり,k(k + 1)……… (k+n-1) はn! で割り切れます. -(n-1)≦k≦0
のときはk(k + 1)... (k+n-1)=0だからあたりまえで (倍数の定義に
より0は任意の整数の倍数です), k-nのときは,(-1)” をかけてすべて
正にしておくとk0の場合に帰着されます。 Q.8-
これを利用すると,上の例題ではもっと強い主張 「nnは30の倍数で
ある」ことがわかります.
-
(2)
《解
のたの
な

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

　すべての正の整数nについての式【n⁵－n】について

　　既に【n⁵－n】が 5の倍数である事が示されている事が前提です

　　n⁵－n＝n(n＋1)(n－1)(n²＋1)

　　　　＝{(n－1)n(n＋1)}(n²＋1)

　　{(n－1)n(n＋1)}は連続する３つの整数の積なので、

　　　2の倍数かつ3の倍数で、6の倍数(3!＝6)

　　よって、n⁵－nは、5の倍数かつ6の倍数であり

　　　30の倍数となる