Question

抹茶ラテ

(１)の問題あっていますか？

6
例題 4
背理法による証明
第2章 集合と命題
★★★★
a,b,cは2+B2=c2 を満たす自然数とする。 このとき, a, b の少なくとも一方は偶数であること
を背理法を用いて示せ。
[類 岐阜聖徳学園大]
結論を否定して矛盾を導く
考え方
ポイント
結論が成り立たないと仮定する。 (結論を否定する)
⇒
「a, b の少なくとも一方は偶数」の否定は 「α, bがともに奇数」
'+6=c2の両辺について, 4の倍数であるかどうかを調べる。
解答
a b がともに奇数であると仮定する。
① 結論を否定
② 右辺を調べる
→
このとき,a2,62 は奇数であるから,c=d' +62 は偶数である。
左辺を調べる
③ 矛盾を導く
練習
4
よって, cも偶数であるから, cは自然数を用いてc=2k と表される。
ゆえに,c2=(2k2=4k2となり,kは整数であるから,2は4の倍数である。
一方,奇数a, b は自然数m, nを用いて, a=2m-16=2n-1 と表される。
このとき,a+b2=(2m-1)+(2n-1)²=4(m²+n²-m-n) +2 となり,
m²+n-m-nは整数であるから, a' + 62 は4の倍数ではない。
ゆえに,'+b2=c2 において,右辺は4の倍数であるが, 左辺は4の倍数でない
から, 矛盾する。
したがって, a,bの少なくとも一方は偶数である。
[終]
(1)正の整数xが3の倍数ではないとき,x2を3で割った余りは1であることを示せ。
(2)x,y,z は x2+y'=z' を満たす正の整数とする。 このとき, x, yの少なくとも一方は
3の倍数であることを, 背理法を用いて示せ。
[類 大阪学院大 ]
の実
大

[練4]
(1)正の整数が3の倍数ではないとき、
x2を3で割った余りは1であることを示せ
正の整数が3の倍数ではないかつ、
x2を3で割った余りは1ではないと仮定する。
Xが3の倍数ではないことから、
xを3で割った余りは1または2となる。
xを3で割った余りがの場合を考える。
x=3k+1(ただし、kは整数とする。)
x2=(3+1)2=912+6k+1
xを3で割った余りは1となる。
Xを3で割った余りが2の場合を考える。
x=3k+(ただし、皮は整数とする。)
x² = (3k+ 2)² = 91² + b k + 4
Xを3で割った余りは1となる。
ゆえに、いずれの場合もxを3で割った
余は1となるから矛盾する。
したがって、水を3で割った余は1である。
Date

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

全体として丁寧な書き方ですね

×
4段落目、5段落目のそれぞれ最終行は
「xを〜」ではなく「x²を〜」です
些細なことなので不問かと思います

5段落目(3k+2)²の展開が違います
9k²+12k+4です

△
たとえば4段落目9k²+6k+1が
3で割って1余ることをいうときは、
9k²+6k+1 = 3(3k²+2k)+1
と変形して、「3k²+2kは整数だから」
というように断ることがよくあります
そう書かないと減点するかどうかは人によります

余談
この問題は背理法を使わせる問題としては向いていませんね
どちらのパターンでもx²を3で割ったら余り1だった、
で証明終了だから、入り方の出番がありませんね

抹茶ラテ

ありがとうございます😊
これから直そうと思います💦