1章
364
基本 21 組分けの問題
6枚のカード1,2 3 4 5 6 がある
慣列
00000
(1) 6枚のカードを組Aと組Bに分ける方法は何通りあるか。 ただし、各組に
少なくとも1枚は入るものとする。
(2)6枚のカードを2組に分ける方法は何通りあるか。
(3) 6枚のカードを区別できない3個の箱に分けるとき, カード1,2を別々の
箱に入れる方法は何通りあるか。 ただし、空の箱はないものとする。
指針 (1) 6枚のカードおのおのの分け方は,A,Bの2通り。
2通り
23456
ズーム
UP
重複順列,組分けの問題に関する注意点
2321337
365
前ページの例題21 や p.372 例題 25 のように, 組分けの問題には、いろいろなタイプがあ
り問題の設定に応じて考えていく必要がある。 例題21では重複順列の考えを利用して
いるが,その内容について更に掘り下げて考えてみよう。
●重複列の考え方
異なるn個のものから個取る重複順列の総数は n
(*)
2222
123456
↑
1
2
重複順列で
↑ ↑
ただし,どちらの組にも1枚は入れるから, 全部を
-2
AまたはBに入れる場合を除くために
A A A
B
B
or or or or or or
B
B B B
単に公式として覚えているだけでは,nとrを
取り違えて,例えば (1) は, 26でなく62としてしまうミス
通通通通通通
りりりりりり
(2) (1) で, A, B の区別をなくすために
÷2
(3)3個の箱をA, B, C とし, 問題の条件を表に示すと,
右のようになる。 よって,次のように計算する。
箱
ABC
カード 12
(3456 を A, B, C に分ける)
-(Cが空箱になる = 3, 4, 5, 6をAとBのみに入れる)
3,4,5,6から少なくとも1枚
CHART 組分けの問題 0個の組と組の区別の有無に注意
(1) 6枚のカードを, A, B2つの組のどちらかに入れる方 | A,Bの2個から6個取
る重複順列の総数。
法は
2°=64(通り)
64-262 (通り)
をしやすい。 よって、慣れないうちは指針の (1) にあるような図, または上の図の
ように、各位置に何通りの方法があるかがわかるような図をかくとよい。
また、図をかくことで, 重複順列は,積の法則を繰り返し利用したものになって
いることがわかり, (*) の式の原理をしっかり理解するのにも役立つ。
組分けの問題での注意点 1
組分けの問題では, 0個となる組が許されるかどうかにまず注目しよう。
(1)では, 「各組に少なくとも1枚は入る」 0枚の組はダメ) という設定であるか
ら, A0枚, 組B:1~6の6枚) の分け方と (A1~6の6枚組B:
0枚) の分け方を除く必要がある。 ここで, 仮に 「1枚も入らない組があってもよ
「い」 (0 枚の組もOK) という設定ならば, 答えは2°=64 (通り) となる。
なお,(2)では,一方の組に6枚のカードすべてを入れると組の数は1となり,
2組という条件を満たさない。 すなわち, 問題文に断り書きはないが,「0枚の組
は許されない」という前提条件のもとで考えていくことになる。
(2) において ÷2 する理由
解答
このうち, A,Bの一方だけに入れる方法は
よって, 組A と組B に分ける方法は
2通り
(2) (1) A,Bの区別をなくして
(2組の分け方)×2!
= (A, B2組の分け方 )
62÷2=31 (通り)
このうち, Cには1枚も入れない方法は 24通り
したがって 3'-2'=81-16=65 (通り)
A, B, C の3個の箱のどれかにカード3, 4, 5, 6を入
れる方法は
34通り
(3) カード 1, カード2が入る箱を, それぞれ A, B とし, (3) 問題文に「区別できな
残りの箱をCとする。
い」 とあっても、 カード
(1) の 62通りの分け方のうち、 例えば (1) で
B
1が入る箱, カード2が
入る箱, 残りの箱, と区
別できるようになる。
は右の①、②の分け方は別のもの (2通
り)である。
①
4
2.3
②2
41 5. 6 1
12.
6
2.3
て
Cが空となる入れ方は、
A,Bの2個から4個取
る重複順列の総数と考え
2通り
しかし, (2) では組 A,Bの区別がなくなる
から ①と②は同じもの (1通り) となる。
62
④ 円順列・重複順列
③ 21
習(1)7人を2つの部屋 A, B に分けるとき,どの部屋も1人以上になる分け方は全
部で何通りあるか。
(2) 4人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき, どの部屋も1人以上になる分け方は
全部で何通りあるか。
(3) 大人4人, 子ども3人の計7人を3つの部屋 A, B, C に分けるとき どの部屋
も大人が1人以上になる分け方は全部で何通りあるか。 p.366 EX 18
(1)の組分け ①〜62のうち,組の区別をなくすと同じになるものが2通りずつあ
るから,(2)では÷2としているのである。
組分けの問題での注意点2
組分けの問題では, 分けるものや組に区別があるかないかをしっかり見極める
ことも重要である。 例えば、 例題 21(1), (2) ではカードに区別があるが, 仮にカー
ドの区別がないとした場合は, 結果はまったく異なるので、注意が必要である。
詳しくは解答編 .259 の検討参照。 カードの枚数だけに注目し, 数え上げによって
分け方を書き上げると, (1) では5通り, (2) では3通りとなる。
-6327
さ
6×3=3
理解できました！！！ありがとうございました！！！