EX
⑤27
平面上で原点 0 と3点A(3, 1), B(1, 2), C(-1, 1) を考える。 実数s, tに対し、点Pを
Op=sOA+tOBにより定める。
(1)s, tが条件 -1≦s≦1, -1st≦1を満たすとき、点P(x,y)が存在する範囲D、を図示せ
よ。
(2)s,tが条件 -1≦s≦1, -1≦t≦1, -1≦stts1を満たすとき、点P(x, y) が存在する範
囲D2 を図示せよ。
(3)点P (2) で求めた範囲D2を動くとき、 内積OP OC の最大値を求め、そのときの点Pの
座標を求めよ。
(1)sを固定して,OA'=sOA とすると
OP=OA' + tOB
よって, -1≦t≦1の範囲でtを動かすとき)
OPI=OA′-OB, OP2=OA'+OB
とすると,点Pは線分PP2 上を動く。
そして, s を-1≦s≦1の範囲で動
かすと, 線分 PiP2は図1の線分 GH
から EF まで平行に動く。ただし
OE-OA-OB, OF=OA+OB,
OG=-OA-OB,40
OH=-OA +OB
[類 東北大 ]
←まずは, s を固定して
tだけを動かして考える。
y
B (1,2)
D1
P, F
←次に,sを動かす。
7(4,3)
H(-2, 1)
A(3,1)
P₁ E(2,-1)
-4,-3)
図 1
ゆえに,領域 D は平行四辺形 EFHGの周および内部である。
すなわち 図1の斜線部分である。 ただし, 境界線を含む。
合
(2) −1≦s+t≦1 を満たすとき、点Pの存在する範囲 D'' を調べ
る。
s+t=k-1≦k≦1) とおくと, k≠0のとき
t
2+
まずは,k を固定して
考える。
10-
S
t
S
k
k
k
+ =1, OP=1/28 (OA)+1/2 (kOB)
k
よって, OA1=kOA, OB1=kOB,
YA
B(1,2)
S1=
== // とすると
k
A(3, 1)
内
の
OP=sOA1+tOBi, S1+t=1
ゆえに、点Pは直線AB1 上を動く。
また, k=0 のとき, OP = tAB とな
り,点PはOを通り, 直線AB に平
行な直線上を動く。
B1
x
のか
I(-3,-1)
A T
J(-1,-2)
←k=0 のとき,s=-
Di
図2でOP=t(OB-OA)
TORA st
k を -1≦k≦1 の範囲で動かすと, 直線 A,B, は図2の直線次に,k を動かす。
AB と IJ に挟まれた部分を動く (直線AB 上, IJ上をともに含
む)。
ただし
OI=-OA, Oj=-OB
y
B
すなわち, 領域 D1' は図2の斜線部
分(境界線を含む)である。
(1,2)
H(-2, 1)
AAA+8AOA
(3,1)
以上から, 求める範囲D2 は領域 D1
X
(-3,-1)
E
とD' の共通部分, すなわち 図3の
斜線部分である。
J (2,-1)
(-1,-2)
図3
ただし,境界線を含む。
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誤字訂正:5行目:平行四辺形のと→平行四辺形と